Номер 161, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Два ученика независимо друг от друга решают одну задачу. Первый ученик может решить эту задачу с вероятностью 0,9, а второй — 0,7. Найдите вероятность того, что:

1) оба ученика решат задачу;

2) ни один из учеников не решит задачу;

3) хотя бы один из учеников решит задачу;

4) только один из учеников решит задачу.

Обозначим события:

A = {первый ученик решит задачу}

B = {второй ученик решит задачу}

По условию задачи, эти события являются независимыми. Их вероятности равны:

$P(A) = 0,9$

$P(B) = 0,7$

Также найдем вероятности противоположных событий (что ученик не решит задачу):

$\bar{A}$ = {первый ученик не решит задачу}

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,9 = 0,1$

$\bar{B}$ = {второй ученик не решит задачу}

$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,7 = 0,3$

1) оба ученика решат задачу

Для того чтобы оба ученика решили задачу, должны произойти оба события A и B. Поскольку события независимы, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(A \text{ и } B) = P(A) \times P(B) = 0,9 \times 0,7 = 0,63$

Ответ: 0,63

2) ни один из учеников не решит задачу

Для того чтобы ни один из учеников не решил задачу, должны произойти оба противоположных события $\bar{A}$ и $\bar{B}$. Так как события A и B независимы, то и $\bar{A}$ и $\bar{B}$ также независимы. Вероятность этого равна произведению их вероятностей:

$P(\bar{A} \text{ и } \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0,1 \times 0,3 = 0,03$

Ответ: 0,03

3) хотя бы один из учеников решит задачу

Событие "хотя бы один решит" является противоположным событию "ни один не решит". Поэтому его вероятность можно найти, вычтя из единицы вероятность того, что никто не решит задачу (которую мы нашли в пункте 2):

$P(\text{хотя бы один решит}) = 1 - P(\text{ни один не решит}) = 1 - 0,03 = 0,97$

Альтернативный способ — использовать формулу сложения вероятностей для совместных событий:

$P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ и } B) = 0,9 + 0,7 - 0,63 = 1,6 - 0,63 = 0,97$

Ответ: 0,97

4) только один из учеников решит задачу

Это событие означает, что произойдет одно из двух несовместных (взаимоисключающих) событий: либо первый ученик решит задачу, а второй нет, либо первый не решит, а второй решит. Вероятность этого равна сумме вероятностей этих двух исходов.

Вероятность того, что первый решит, а второй нет:

$P(A \text{ и } \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B}) = 0,9 \times 0,3 = 0,27$

Вероятность того, что первый не решит, а второй решит:

$P(\bar{A} \text{ и } B) = P(\bar{A}) \times P(B) = 0,1 \times 0,7 = 0,07$

Суммарная вероятность:

$P(\text{только один решит}) = P(A \text{ и } \bar{B}) + P(\bar{A} \text{ и } B) = 0,27 + 0,07 = 0,34$

Ответ: 0,34