Номер 167, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. Игральный кубик бросают семь раз. Какова вероятность того, что чётное число выпадает:

1) два раза;

2) не более трёх раз;

3) больше пяти раз?

Данная задача решается с помощью схемы Бернулли, так как она описывает серию из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых есть два исхода: "успех" (событие произошло) и "неудача" (событие не произошло).

В нашем случае:
Количество испытаний (бросков кубика) $n = 7$.
"Успех" — это выпадение чётного числа. На стандартном кубике 3 чётных грани (2, 4, 6) из 6. Вероятность "успеха" в одном испытании: $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
"Неудача" — это выпадение нечётного числа. Вероятность "неудачи" в одном испытании: $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях "успех" наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний. Для наших параметров формула выглядит так: $P_7(k) = C_7^k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{7-k} = C_7^k (\frac{1}{2})^7 = \frac{C_7^k}{128}$.

1) два раза;
Найдём вероятность того, что чётное число выпадет ровно $k=2$ раза. Для этого вычислим число сочетаний $C_7^2$: $C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$. Теперь вычислим вероятность: $P_7(2) = \frac{C_7^2}{128} = \frac{21}{128}$.
Ответ: $\frac{21}{128}$

2) не более трёх раз;
Это означает, что чётное число выпадет 0, 1, 2 или 3 раза. Нужно найти сумму вероятностей этих событий: $P(k \le 3) = P_7(0) + P_7(1) + P_7(2) + P_7(3)$.
Вычислим вероятности для каждого случая:
$P_7(0) = \frac{C_7^0}{128} = \frac{1}{128}$
$P_7(1) = \frac{C_7^1}{128} = \frac{7}{128}$
$P_7(2) = \frac{C_7^2}{128} = \frac{21}{128}$ (уже найдено)
$P_7(3) = \frac{C_7^3}{128} = \frac{7!}{3!(7-3)! \cdot 128} = \frac{35}{128}$
Суммируем полученные значения: $P(k \le 3) = \frac{1}{128} + \frac{7}{128} + \frac{21}{128} + \frac{35}{128} = \frac{1+7+21+35}{128} = \frac{64}{128} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

3) больше пяти раз?
Это означает, что чётное число выпадет 6 или 7 раз. Нужно найти сумму вероятностей этих событий: $P(k > 5) = P_7(6) + P_7(7)$.
Вычислим вероятности для каждого случая:
$P_7(6) = \frac{C_7^6}{128} = \frac{7}{128}$
$P_7(7) = \frac{C_7^7}{128} = \frac{1}{128}$
Суммируем полученные значения: $P(k > 5) = \frac{7}{128} + \frac{1}{128} = \frac{8}{128} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$