Номер 164, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что герб:

1) выпадет три раза;

2) не выпадет ни одного раза;

3) выпадет не более двух раз;

4) выпадет не менее трёх раз?

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, которая позволяет найти вероятность наступления события A ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях:$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$,где $n$ — общее число испытаний, $k$ — число наступления события, $p$ — вероятность наступления события в одном испытании, а $q = 1 - p$ — вероятность ненаступления события.

В нашем случае, число испытаний (подбрасываний монеты) $n = 10$. Событие, которое нас интересует, — выпадение герба. Вероятность выпадения герба в одном испытании $p = 1/2$, а вероятность невыпадения герба (выпадения решки) $q = 1 - 1/2 = 1/2$.

Общее число всех возможных исходов при 10 подбрасываниях монеты равно $2^{10} = 1024$. Формула Бернулли для данной задачи упрощается, так как $p=q=1/2$:$P_{10}(k) = C_{10}^k \cdot (1/2)^k \cdot (1/2)^{10-k} = C_{10}^k \cdot (1/2)^{10} = \frac{C_{10}^k}{1024}$,где $C_{10}^k = \frac{10!}{k!(10-k)!}$ — число сочетаний из 10 по $k$, то есть количество способов выбрать $k$ бросков, в которых выпадет герб.

1) выпадет три раза

Ищем вероятность того, что герб выпадет ровно $k=3$ раза. Сначала найдем число благоприятных исходов, то есть количество способов, которыми можно получить 3 герба в 10 бросках. Это число сочетаний $C_{10}^3$:$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$. Теперь найдем вероятность:$P_{10}(3) = \frac{C_{10}^3}{1024} = \frac{120}{1024}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:$P_{10}(3) = \frac{120 \div 8}{1024 \div 8} = \frac{15}{128}$. Ответ: $\frac{15}{128}$.

2) не выпадет ни одного раза

Ищем вероятность того, что герб выпадет ровно $k=0$ раз. Число благоприятных исходов равно $C_{10}^0$:$C_{10}^0 = \frac{10!}{0!(10-0)!} = \frac{10!}{1 \cdot 10!} = 1$. Вероятность этого события:$P_{10}(0) = \frac{C_{10}^0}{1024} = \frac{1}{1024}$. Ответ: $\frac{1}{1024}$.

3) выпадет не более двух раз

Событие "герб выпадет не более двух раз" означает, что он выпадет 0, 1 или 2 раза. Вероятность этого события равна сумме вероятностей каждого из этих исходов:$P(k \le 2) = P_{10}(0) + P_{10}(1) + P_{10}(2)$. Мы уже знаем, что $P_{10}(0) = \frac{1}{1024}$. Найдем $P_{10}(1)$ и $P_{10}(2)$:$C_{10}^1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = 10$, следовательно, $P_{10}(1) = \frac{10}{1024}$.$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$, следовательно, $P_{10}(2) = \frac{45}{1024}$. Суммируем вероятности:$P(k \le 2) = \frac{1}{1024} + \frac{10}{1024} + \frac{45}{1024} = \frac{1+10+45}{1024} = \frac{56}{1024}$. Сократим дробь на 8:$P(k \le 2) = \frac{56 \div 8}{1024 \div 8} = \frac{7}{128}$. Ответ: $\frac{7}{128}$.

4) выпадет не менее трёх раз

Событие "герб выпадет не менее трёх раз" является противоположным событию "герб выпадет менее трёх раз" (то есть 0, 1 или 2 раза). Вероятность противоположного события можно найти, вычтя из единицы вероятность исходного события. Вероятность того, что герб выпадет менее трёх раз, мы нашли в предыдущем пункте: $P(k < 3) = P(k \le 2) = \frac{56}{1024} = \frac{7}{128}$. Тогда искомая вероятность:$P(k \ge 3) = 1 - P(k \le 2) = 1 - \frac{56}{1024} = \frac{1024 - 56}{1024} = \frac{968}{1024}$. Сократим дробь на 8:$P(k \ge 3) = \frac{968 \div 8}{1024 \div 8} = \frac{121}{128}$. Ответ: $\frac{121}{128}$.