Номер 36, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. Установите соответствие между функциями, записанными в левом столбце, и их областями определения, записанными в правом столбце.

Функции

А) $y = \log_6(x + 3)$

Б) $y = \log_x(x + 3)$

В) $y = \log_{x+3} x$

Г) $y = \log_{x+3} 6$

Области определения

1) $(-3; +\infty)$

2) $(-3; -2) \cup (-2; +\infty)$

3) $(0; +\infty)$

4) $(0; 1) \cup (1; +\infty)$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А

Б

В

Г

Для нахождения области определения логарифмической функции $y = \log_a b$ необходимо, чтобы выполнялись три условия одновременно:

1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $b > 0$.

2. Основание логарифма должно быть строго больше нуля: $a > 0$.

3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $a \neq 1$.

Применим эти правила для каждой из предложенных функций.

В этой функции основание $a=6$ является константой. Проверяем условия для основания: $6 > 0$ и $6 \neq 1$. Оба условия выполнены.

Теперь рассмотрим аргумент $b = x+3$. Он должен быть строго больше нуля:

$x+3 > 0$

$x > -3$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, большие $-3$. В виде интервала это записывается как $(-3; +\infty)$. Данный интервал соответствует варианту 1).

Ответ: 1

В этой функции и основание, и аргумент зависят от $x$. Составим систему из трёх условий:

1. Аргумент: $x+3 > 0 \implies x > -3$

2. Основание: $x > 0$

3. Основание: $x \neq 1$

Найдём пересечение этих условий. Из $x > -3$ и $x > 0$ следует более сильное условие $x > 0$. Добавив к нему третье условие, получаем $x > 0$ и $x \neq 1$.

В виде объединения интервалов это записывается как $(0; 1) \cup (1; +\infty)$. Это соответствует варианту 4).

Ответ: 4

Снова составим систему из трёх условий:

1. Аргумент: $x > 0$

2. Основание: $x+3 > 0 \implies x > -3$

3. Основание: $x+3 \neq 1 \implies x \neq -2$

Найдём пересечение этих условий. Условие $x > 0$ является самым строгим из $x>0$ и $x>-3$. Если $x>0$, то условие $x \neq -2$ выполняется автоматически. Следовательно, итоговая область определения — это $x > 0$.

В виде интервала это записывается как $(0; +\infty)$. Это соответствует варианту 3).

Ответ: 3

В этой функции аргумент $b=6$ является константой. Условие $6 > 0$ выполнено.

Остаётся рассмотреть условия для основания $a = x+3$:

1. Основание: $x+3 > 0 \implies x > -3$

2. Основание: $x+3 \neq 1 \implies x \neq -2$

Объединив эти два условия, получаем, что $x$ может быть любым числом, большим $-3$, за исключением $-2$.

В виде объединения интервалов это записывается как $(-3; -2) \cup (-2; +\infty)$. Это соответствует варианту 2).

Ответ: 2

Заполним итоговую таблицу: