Номер 37, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. Найдите область определения функции:

1) $y = \log_6(4x + 7);$

2) $y = \log_{0,1}(3 - 2x - x^2);$

3) $y = \lg(3x + 6) - 4\lg(7 - x);$

4) $y = \frac{8}{\log_3(x - 6)};$

5) $y = \log_{2-x}(x + 4);$

6) $y = \log_{\frac{1}{6}}(8x - 12 - x^2) + \frac{1}{\log_{\frac{1}{6}}(x - 4)}.$

1) $y = \log_6(4x + 7)$

Область определения логарифмической функции $y = \log_a f(x)$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $f(x) > 0$. В данном случае основание логарифма $6 > 0$ и $6 \neq 1$.

Составим и решим неравенство для аргумента функции:

$4x + 7 > 0$

$4x > -7$

$x > -\frac{7}{4}$

Таким образом, область определения функции – это интервал $(-\frac{7}{4}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\frac{7}{4}; +\infty)$.

2) $y = \log_{0,1}(3 - 2x - x^2)$

Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. Основание $0.1$ удовлетворяет условиям ($0.1 > 0$ и $0.1 \neq 1$).

$3 - 2x - x^2 > 0$

Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак неравенства:

$x^2 + 2x - 3 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля (то есть парабола находится ниже оси Ox) между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-3 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-3; 1)$.

3) $y = \lg(3x + 6) - 4\lg(7 - x)$

Область определения данной функции является пересечением областей определения двух логарифмических функций: $\lg(3x+6)$ и $\lg(7-x)$. Для этого необходимо, чтобы аргументы обоих логарифмов были положительны. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x + 6 > 0 \\ 7 - x > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $3x > -6 \implies x > -2$

2) $-x > -7 \implies x < 7$

Найдем пересечение решений: $x > -2$ и $x < 7$.

Таким образом, $-2 < x < 7$.

Ответ: $x \in (-2; 7)$.

4) $y = \frac{8}{\log_3(x - 6)}$

Область определения этой функции определяется двумя условиями:

1. Аргумент логарифма должен быть положительным: $x - 6 > 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\log_3(x - 6) \neq 0$.

Решим эти условия в виде системы:

$\begin{cases} x - 6 > 0 \\ \log_3(x - 6) \neq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем:

$x > 6$

Решим второе условие. Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен единице.

$\log_3(x - 6) \neq 0 \implies x - 6 \neq 3^0$

$x - 6 \neq 1$

$x \neq 7$

Объединяя оба условия, получаем, что $x$ должен быть больше 6 и не равен 7.

Ответ: $x \in (6; 7) \cup (7; +\infty)$.

5) $y = \log_{2-x}(x + 4)$

Для логарифмической функции, у которой основание также зависит от переменной, область определения находится из системы трех условий:

1. Аргумент логарифма положителен: $x + 4 > 0$.

2. Основание логарифма положительно: $2 - x > 0$.

3. Основание логарифма не равно единице: $2 - x \neq 1$.

Запишем и решим систему:

$\begin{cases} x + 4 > 0 \\ 2 - x > 0 \\ 2 - x \neq 1 \end{cases}$

1) $x > -4$

2) $-x > -2 \implies x < 2$

3) $-x \neq -1 \implies x \neq 1$

Объединим все условия: $x$ должен быть в интервале от -4 до 2, и при этом не должен быть равен 1.

Ответ: $x \in (-4; 1) \cup (1; 2)$.

6) $y = \log_{\frac{1}{6}}(8x - 12 - x^2) + \frac{1}{\log_{\frac{1}{6}}(x - 4)}$

Область определения этой функции является пересечением областей определения двух ее слагаемых. Составим систему условий.

Для первого слагаемого $\log_{\frac{1}{6}}(8x - 12 - x^2)$ аргумент должен быть положителен:

$8x - 12 - x^2 > 0$

Для второго слагаемого $\frac{1}{\log_{\frac{1}{6}}(x - 4)}$ аргумент логарифма должен быть положителен, а сам логарифм (знаменатель) не должен быть равен нулю:

$x - 4 > 0$

$\log_{\frac{1}{6}}(x - 4) \neq 0$

Решим систему из трех условий:

$\begin{cases} -x^2 + 8x - 12 > 0 \\ x - 4 > 0 \\ \log_{\frac{1}{6}}(x - 4) \neq 0 \end{cases}$

1) $-x^2 + 8x - 12 > 0 \implies x^2 - 8x + 12 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$ равны $x_1 = 2, x_2 = 6$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $2 < x < 6$.

2) $x - 4 > 0 \implies x > 4$.

3) $\log_{\frac{1}{6}}(x - 4) \neq 0 \implies x - 4 \neq (\frac{1}{6})^0 \implies x - 4 \neq 1 \implies x \neq 5$.

Найдем пересечение всех полученных решений: $x \in (2; 6)$, $x > 4$ и $x \neq 5$.

Пересечение $x \in (2; 6)$ и $x > 4$ дает интервал $(4; 6)$.

Исключая из этого интервала точку $x = 5$, получаем объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (4; 5) \cup (5; 6)$.