Номер 42, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Решите уравнение:

1) $2\log^2_4 x - \log_4 x - 1 = 0;$

2) $\log^2_3 x + 2\log_3 \sqrt{x} = 2;$

3) $\log^2_2 x^5 - 15\log_2 x = 10;$

4) $\frac{1}{5 - 4\lg x} + \frac{4}{1 + \lg x} = 3;$

5) $\log_2(2x^2) \cdot \log_2(16x) = \frac{9}{2}\log^2_2 x;$

6) $\lg \lg x + \lg (\lg x^2 + 1) = 0;$

7) $\log^2_6 36x + \log^2_6 \frac{x}{216} + \log^2_6 x = 12;$

8) $\log_5 x + \log_x 25 = 3.$

1) $2\log_4^2 x - \log_4 x - 1 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Это квадратное уравнение относительно $\log_4 x$. Сделаем замену: пусть $t = \log_4 x$.
Получим уравнение: $2t^2 - t - 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $\log_4 x = -\frac{1}{2} \implies x = 4^{-1/2} = (2^2)^{-1/2} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
2) $\log_4 x = 1 \implies x = 4^1 = 4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).
Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 4$.

2) $\log_3^2 x + 2\log_3 \sqrt{x} = 2$

ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем второй член уравнения, используя свойство логарифма степени $\log_a b^c = c \log_a b$:
$2\log_3 \sqrt{x} = 2\log_3 x^{1/2} = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_3 x = \log_3 x$.
Подставим в исходное уравнение:
$\log_3^2 x + \log_3 x = 2$
$\log_3^2 x + \log_3 x - 2 = 0$
Сделаем замену: пусть $t = \log_3 x$.
$t^2 + t - 2 = 0$
По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$.
Вернемся к исходной переменной:
1) $\log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3$.
2) $\log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{9}, x_2 = 3$.

3) $\log_2^2 x^5 - 15\log_2 x = 10$

ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем первый член уравнения: $\log_2^2 x^5 = (\log_2 x^5)^2 = (5\log_2 x)^2 = 25\log_2^2 x$.
Подставим в уравнение: $25\log_2^2 x - 15\log_2 x - 10 = 0$
Разделим обе части на 5: $5\log_2^2 x - 3\log_2 x - 2 = 0$
Сделаем замену: пусть $t = \log_2 x$.
$5t^2 - 3t - 2 = 0$
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$
$t_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
Вернемся к исходной переменной:
1) $\log_2 x = -\frac{2}{5} \implies x = 2^{-2/5}$.
2) $\log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 2^{-2/5}, x_2 = 2$.

4) $\frac{1}{5 - 4\lg x} + \frac{4}{1 + \lg x} = 3$

ОДЗ: $x > 0$ и знаменатели не равны нулю.
$5 - 4\lg x \neq 0 \implies 4\lg x \neq 5 \implies \lg x \neq \frac{5}{4} \implies x \neq 10^{5/4}$.
$1 + \lg x \neq 0 \implies \lg x \neq -1 \implies x \neq 10^{-1} = 0.1$.
Сделаем замену: пусть $t = \lg x$. Тогда $t \neq 5/4$ и $t \neq -1$.
$\frac{1}{5 - 4t} + \frac{4}{1 + t} = 3$
Приведем к общему знаменателю: $\frac{1(1+t) + 4(5-4t)}{(5-4t)(1+t)} = 3$
$1+t+20-16t = 3(5-4t)(1+t)$
$21 - 15t = 3(5+5t-4t-4t^2)$
$21 - 15t = 3(5+t-4t^2)$
$21 - 15t = 15 + 3t - 12t^2$
$12t^2 - 18t + 6 = 0$
Разделим на 6: $2t^2 - 3t + 1 = 0$
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
$t_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1$
Оба корня для $t$ удовлетворяют ограничениям. Вернемся к $x$:
1) $\lg x = \frac{1}{2} \implies x = 10^{1/2} = \sqrt{10}$.
2) $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = \sqrt{10}, x_2 = 10$.

5) $\log_2(2x^2) \cdot \log_2(16x) = \frac{9}{2}\log_2^2 x$

ОДЗ: $x > 0$.
Используем свойство логарифма произведения $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$:
$\log_2(2x^2) = \log_2 2 + \log_2 x^2 = 1 + 2\log_2 x$.
$\log_2(16x) = \log_2 16 + \log_2 x = \log_2 2^4 + \log_2 x = 4 + \log_2 x$.
Подставим в уравнение:
$(1 + 2\log_2 x)(4 + \log_2 x) = \frac{9}{2}\log_2^2 x$
Сделаем замену: пусть $t = \log_2 x$.
$(1+2t)(4+t) = \frac{9}{2}t^2$
$4 + t + 8t + 2t^2 = \frac{9}{2}t^2$
$2t^2 + 9t + 4 = \frac{9}{2}t^2$
Умножим на 2: $4t^2 + 18t + 8 = 9t^2$
$5t^2 - 18t - 8 = 0$
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 324 + 160 = 484 = 22^2$.
$t_1 = \frac{18 - 22}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$
$t_2 = \frac{18 + 22}{10} = \frac{40}{10} = 4$
Вернемся к $x$:
1) $\log_2 x = -\frac{2}{5} \implies x = 2^{-2/5}$.
2) $\log_2 x = 4 \implies x = 2^4 = 16$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 2^{-2/5}, x_2 = 16$.

6) $\lg \lg x + \lg(\lg x^2 + 1) = 0$

ОДЗ:
1) Аргумент внутреннего логарифма: $x > 0$.
2) Аргумент внешнего логарифма: $\lg x > 0 \implies x > 1$.
3) Аргумент второго логарифма: $\lg x^2 + 1 > 0 \implies 2\lg x + 1 > 0$. Так как из п.2 $\lg x > 0$, это условие выполняется автоматически. Итак, ОДЗ: $x > 1$.
Используем свойство суммы логарифмов:
$\lg(\lg x \cdot (\lg x^2 + 1)) = 0$
По определению логарифма:
$\lg x \cdot (\lg x^2 + 1) = 10^0 = 1$
$\lg x \cdot (2\lg x + 1) = 1$
Сделаем замену: пусть $t = \lg x$. Из ОДЗ ($x > 1$) следует, что $t > 0$.
$t(2t+1) = 1$
$2t^2 + t - 1 = 0$
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$.
$t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$ (не удовлетворяет условию $t > 0$).
$t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ (удовлетворяет условию $t > 0$).
Вернемся к $x$:
$\lg x = \frac{1}{2} \implies x = 10^{1/2} = \sqrt{10}$.
Корень $\sqrt{10} > 1$, значит, удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \sqrt{10}$.

7) $\log_6^2(36x) + \log_6^2(\frac{x}{216}) + \log_6^2 x = 12$

ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем логарифмы:
$\log_6(36x) = \log_6 36 + \log_6 x = 2 + \log_6 x$.
$\log_6(\frac{x}{216}) = \log_6 x - \log_6 216 = \log_6 x - 3$.
Подставим в уравнение:
$(2 + \log_6 x)^2 + (\log_6 x - 3)^2 + (\log_6 x)^2 = 12$
Сделаем замену: пусть $t = \log_6 x$.
$(2+t)^2 + (t-3)^2 + t^2 = 12$
$(4+4t+t^2) + (t^2-6t+9) + t^2 = 12$
$3t^2 - 2t + 13 = 12$
$3t^2 - 2t + 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.
Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение также не имеет решений.
Ответ: решений нет (или $\emptyset$).

8) $\log_5 x + \log_x 25 = 3$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$.
$\log_x 25 = \frac{\log_5 25}{\log_5 x} = \frac{2}{\log_5 x}$.
Подставим в уравнение:
$\log_5 x + \frac{2}{\log_5 x} = 3$
Сделаем замену: пусть $t = \log_5 x$. Из ОДЗ ($x \neq 1$) следует, что $t \neq 0$.
$t + \frac{2}{t} = 3$
Умножим на $t$:
$t^2 + 2 = 3t$
$t^2 - 3t + 2 = 0$
По теореме Виета: $t_1=1, t_2=2$. Оба корня не равны нулю.
Вернемся к $x$:
1) $\log_5 x = 1 \implies x = 5^1 = 5$.
2) $\log_5 x = 2 \implies x = 5^2 = 25$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 5, x_2 = 25$.