Номер 45, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. Выясните, при каких значениях $a$ данное уравнение имеет корни, и найдите их:

1) $\log_3(4x + a) = \log_3(1 - 2x)$;

2) $\lg(x^2 - 3ax) = \lg(x - 6a + 2)$.

1) $\log_3(4x + a) = \log_3(1 - 2x)$

Данное логарифмическое уравнение равносильно системе, в которой аргументы логарифмов равны, и один из них (а следовательно, и оба) больше нуля:

$\begin{cases} 4x + a = 1 - 2x \\ 1 - 2x > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства системы (область допустимых значений) следует, что $2x < 1$, то есть $x < \frac{1}{2}$.

Решим первое уравнение относительно $x$:

$4x + 2x = 1 - a$

$6x = 1 - a$

$x = \frac{1 - a}{6}$

Чтобы найденное значение $x$ было корнем исходного уравнения, оно должно удовлетворять области допустимых значений, то есть $x < \frac{1}{2}$.

Подставим выражение для $x$ в это неравенство:

$\frac{1 - a}{6} < \frac{1}{2}$

Умножим обе части неравенства на 6:

$1 - a < 3$

$-a < 2$

$a > -2$

Таким образом, уравнение имеет корень только при $a > -2$.

Ответ: при $a > -2$ уравнение имеет один корень $x = \frac{1 - a}{6}$.

2) $\lg(x^2 - 3ax) = \lg(x - 6a + 2)$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 3ax = x - 6a + 2 \\ x - 6a + 2 > 0 \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение системы в квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - 3ax - x + 6a - 2 = 0$

$x^2 - (3a + 1)x + (6a - 2) = 0$

Найдем его дискриминант:

$D = (-(3a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a - 2) = (3a+1)^2 - 24a + 8 = 9a^2 + 6a + 1 - 24a + 8 = 9a^2 - 18a + 9 = 9(a^2 - 2a + 1) = 9(a-1)^2$

Поскольку $D = 9(a-1)^2 \ge 0$ для любого действительного значения $a$, квадратное уравнение всегда имеет корни.

Найдем корни по формуле:

$x = \frac{3a+1 \pm \sqrt{9(a-1)^2}}{2} = \frac{3a+1 \pm 3(a-1)}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{3a+1 + 3(a-1)}{2} = \frac{3a+1+3a-3}{2} = \frac{6a-2}{2} = 3a-1$

$x_2 = \frac{3a+1 - 3(a-1)}{2} = \frac{3a+1-3a+3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь проверим, при каких значениях $a$ эти корни удовлетворяют условию $x - 6a + 2 > 0$ (область допустимых значений).

Для корня $x_1 = 3a-1$:

$(3a-1) - 6a + 2 > 0$

$-3a + 1 > 0$

$1 > 3a$

$a < \frac{1}{3}$

Значит, $x_1 = 3a-1$ является корнем исходного уравнения при $a < \frac{1}{3}$.

Для корня $x_2 = 2$:

$2 - 6a + 2 > 0$

$4 - 6a > 0$

$4 > 6a$

$a < \frac{4}{6}$

$a < \frac{2}{3}$

Значит, $x_2 = 2$ является корнем исходного уравнения при $a < \frac{2}{3}$.

Теперь объединим полученные результаты, чтобы определить количество корней в зависимости от значения $a$:

• Если $a < \frac{1}{3}$, то оба условия ($a < \frac{1}{3}$ и $a < \frac{2}{3}$) выполняются. При этом корни $3a-1$ и $2$ различны, так как равенство $3a-1=2$ достигается при $a=1$, что не входит в рассматриваемый интервал. Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = 3a-1$ и $x_2 = 2$.
• Если $\frac{1}{3} \le a < \frac{2}{3}$, то условие $a < \frac{1}{3}$ не выполняется (значит, $x_1 = 3a-1$ не является корнем), а условие $a < \frac{2}{3}$ выполняется. Следовательно, уравнение имеет один корень: $x_2 = 2$.
• Если $a \ge \frac{2}{3}$, то ни одно из условий не выполняется, и уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение имеет корни при $a < \frac{2}{3}$. Если $a < \frac{1}{3}$, то корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3a - 1$. Если $\frac{1}{3} \le a < \frac{2}{3}$, то корень $x = 2$.