Номер 20, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

20. Решите неравенство:

1) $25^x - 26 \cdot 5^x + 25 \geq 0;$

2) $11^{2x+1} - 12 \cdot 11^x + 1 < 0;$

3) $9^{x+0.5} + 2 \cdot 3^x - 1 \geq 0;$

4) $2^x + 2^{1-x} \geq 3;$

5) $25 \cdot 0.2^{2x} - 126 \cdot 0.2^x + 5 \leq 0;$

6) $4^{x+0.5} - 7 \cdot 2^x - 4 < 0.$

1) Исходное неравенство: $25^x - 26 \cdot 5^x + 25 \ge 0$.

Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $t^2 - 26t + 25 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 26t + 25 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 25$.

Так как парабола $y = t^2 - 26t + 25$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется при $t \le 1$ или $t \ge 25$. Оба интервала удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$5^x \le 1$ или $5^x \ge 25$.

$5^x \le 5^0$ или $5^x \ge 5^2$.

Так как основание $5 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому, сравнивая показатели, получаем: $x \le 0$ или $x \ge 2$.

Ответ: $(-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$

2) Исходное неравенство: $11^{2x+1} - 12 \cdot 11^x + 1 < 0$.

Преобразуем левую часть: $11 \cdot 11^{2x} - 12 \cdot 11^x + 1 < 0$, что равносильно $11 \cdot (11^x)^2 - 12 \cdot 11^x + 1 < 0$.

Сделаем замену $t = 11^x$, где $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $11t^2 - 12t + 1 < 0$.

Найдем корни уравнения $11t^2 - 12t + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 1 = 144 - 44 = 100 = 10^2$.

Корни $t_1 = \frac{12 - 10}{2 \cdot 11} = \frac{2}{22} = \frac{1}{11}$ и $t_2 = \frac{12 + 10}{2 \cdot 11} = \frac{22}{22} = 1$.

Так как парабола $y = 11t^2 - 12t + 1$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется между корнями: $\frac{1}{11} < t < 1$.

Выполним обратную замену: $\frac{1}{11} < 11^x < 1$.

Запишем в виде $11^{-1} < 11^x < 11^0$.

Так как основание $11 > 1$, функция возрастающая, следовательно $-1 < x < 0$.

Ответ: $(-1, 0)$

3) Исходное неравенство: $9^{x+0,5} + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$.

Преобразуем левую часть: $9^x \cdot 9^{0,5} + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$, что равносильно $3 \cdot (3^x)^2 + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$.

Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $3t^2 + 2t - 1 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $3t^2 + 2t - 1 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.

Корни $t_1 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = -1$ и $t_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Решением неравенства является $t \le -1$ или $t \ge \frac{1}{3}$. Учитывая условие $t > 0$, получаем $t \ge \frac{1}{3}$.

Выполним обратную замену: $3^x \ge \frac{1}{3}$.

Запишем в виде $3^x \ge 3^{-1}$.

Так как основание $3 > 1$, функция возрастающая, следовательно $x \ge -1$.

Ответ: $[-1, +\infty)$

4) Исходное неравенство: $2^x + 2^{1-x} \ge 3$.

Преобразуем левую часть: $2^x + \frac{2}{2^x} \ge 3$.

Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $t + \frac{2}{t} \ge 3$.

Так как $t>0$, умножим обе части на $t$, сохранив знак неравенства: $t^2 + 2 \ge 3t$, или $t^2 - 3t + 2 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Решением неравенства является $t \le 1$ или $t \ge 2$.

Выполним обратную замену: $2^x \le 1$ или $2^x \ge 2$.

Запишем в виде $2^x \le 2^0$ или $2^x \ge 2^1$.

Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, следовательно $x \le 0$ или $x \ge 1$.

Ответ: $(-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$

5) Исходное неравенство: $25 \cdot 0,2^{2x} - 126 \cdot 0,2^x + 5 \le 0$.

Неравенство можно записать как $25 \cdot (0,2^x)^2 - 126 \cdot 0,2^x + 5 \le 0$.

Пусть $t = 0,2^x$, где $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $25t^2 - 126t + 5 \le 0$.

Найдем корни уравнения $25t^2 - 126t + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-126)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 5 = 15876 - 500 = 15376 = 124^2$.

Корни $t_1 = \frac{126 - 124}{2 \cdot 25} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}$ и $t_2 = \frac{126 + 124}{2 \cdot 25} = \frac{250}{50} = 5$.

Решением неравенства является $\frac{1}{25} \le t \le 5$.

Выполним обратную замену: $\frac{1}{25} \le 0,2^x \le 5$.

Так как $0,2 = \frac{1}{5}$, $\frac{1}{25} = (\frac{1}{5})^2 = 0,2^2$, а $5 = (\frac{1}{5})^{-1} = 0,2^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $0,2^2 \le 0,2^x \le 0,2^{-1}$.

Так как основание $0,2 < 1$, показательная функция является убывающей, поэтому при переходе к показателям знаки неравенства меняются на противоположные: $2 \ge x \ge -1$, или $-1 \le x \le 2$.

Ответ: $[-1, 2]$

6) Исходное неравенство: $4^{x+0,5} - 7 \cdot 2^x - 4 < 0$.

Преобразуем левую часть: $4^x \cdot 4^{0,5} - 7 \cdot 2^x - 4 < 0$, что равносильно $2 \cdot (2^x)^2 - 7 \cdot 2^x - 4 < 0$.

Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $2t^2 - 7t - 4 < 0$.

Найдем корни уравнения $2t^2 - 7t - 4 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.

Корни $t_1 = \frac{7 - 9}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = 4$.

Решением неравенства является $-\frac{1}{2} < t < 4$. Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < 4$.

Выполним обратную замену: $0 < 2^x < 4$.

Неравенство $2^x > 0$ выполняется для всех $x$. Решим неравенство $2^x < 4$.

Запишем в виде $2^x < 2^2$.

Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, следовательно $x < 2$.

Ответ: $(-\infty, 2)$