Номер 16, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

16. При каких значениях $a$ уравнение $64^x - (4a - 9) \cdot 8^x - 5a^2 + 15a - 10 = 0$ не имеет действительных корней?

Для решения данной задачи преобразуем исходное уравнение. Заметим, что $64^x = (8^2)^x = (8^x)^2$. Это позволяет нам сделать замену переменной, чтобы свести уравнение к квадратному.

Пусть $t = 8^x$. Поскольку показательная функция $y=8^x$ принимает только положительные значения для любого действительного $x$, на новую переменную $t$ накладывается ограничение: $t > 0$.

Подставив $t$ в исходное уравнение, мы получим квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - (4a-9)t - 5a^2 + 15a - 10 = 0$

Исходное уравнение не имеет действительных корней $x$ в том и только в том случае, если полученное квадратное уравнение относительно $t$ не имеет положительных корней (то есть корней в интервале $(0, +\infty)$).

Рассмотрим два возможных случая, когда квадратное уравнение не имеет положительных корней:

1. Квадратное уравнение не имеет действительных корней.
2. Квадратное уравнение имеет действительные корни, но все они неположительны (то есть $t \le 0$).

Для анализа этих случаев найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения $t^2 - (4a-9)t - (5a^2 - 15a + 10) = 0$:
$D = (-(4a-9))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5a^2 + 15a - 10)$
$D = (4a-9)^2 + 20a^2 - 60a + 40$
$D = 16a^2 - 72a + 81 + 20a^2 - 60a + 40$
$D = 36a^2 - 132a + 121$

Заметим, что полученное выражение для дискриминанта является полным квадратом:$D = (6a)^2 - 2 \cdot (6a) \cdot 11 + 11^2 = (6a - 11)^2$.

Поскольку $D = (6a - 11)^2 \ge 0$ для любых действительных значений $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни. Следовательно, первый случай (отсутствие действительных корней) невозможен.

Значит, мы должны рассмотреть второй случай: оба корня $t_1$ и $t_2$ квадратного уравнения неположительны. Это означает, что должны выполняться условия $t_1 \le 0$ и $t_2 \le 0$. Для параболы $y = t^2 + pt + q$ с ветвями вверх (как в нашем случае, коэффициент при $t^2$ равен 1) условие, что оба корня неположительны, эквивалентно выполнению следующей системы условий (по теореме Виета):

• Дискриминант $D \ge 0$.
• Сумма корней $t_1 + t_2 \le 0$.
• Произведение корней $t_1 \cdot t_2 \ge 0$.

Проверим эти условия для нашего уравнения:

1. $D = (6a - 11)^2 \ge 0$. Это условие выполняется для всех $a \in \mathbb{R}$.

2. Сумма корней, по теореме Виета, равна $t_1 + t_2 = -(-(4a-9)) = 4a-9$.
Требуем, чтобы $4a-9 \le 0$, откуда получаем $4a \le 9$, то есть $a \le \frac{9}{4}$.

3. Произведение корней, по теореме Виета, равно $t_1 \cdot t_2 = -5a^2 + 15a - 10$.
Требуем, чтобы $-5a^2 + 15a - 10 \ge 0$.
Разделим неравенство на -5, изменив знак неравенства на противоположный:
$a^2 - 3a + 2 \le 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 3a + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1=1$, $a_2=2$. Парабола $y = a^2 - 3a + 2$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $a^2 - 3a + 2 \le 0$ выполняется между корнями, включая их: $1 \le a \le 2$.

Теперь объединим все условия, налагаемые на параметр $a$, в систему:
$\begin{cases} a \le \frac{9}{4} \\ 1 \le a \le 2 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $a \in [1, 2]$. При значениях $a$ из этого промежутка оба корня квадратного уравнения для $t$ будут неположительными, что означает отсутствие положительных корней $t$. Следовательно, исходное уравнение для $x$ не будет иметь действительных корней.

Ответ: $a \in [1, 2]$.