Номер 14, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

14. Решите уравнение:

1) $7^x = 51 - x;$

2) $3^{x-1} + 5^{x-1} = 34;$

3) $2^{|x|} = \cos x.$

1) $7^x = 51 - x$

Рассмотрим две функции: $f(x) = 7^x$ и $g(x) = 51 - x$.

Функция $f(x) = 7^x$ является показательной с основанием $7 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей числовой прямой.

Функция $g(x) = 51 - x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $(-1)$, следовательно, она строго убывает на всей числовой прямой.

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более одного раза. Это означает, что уравнение $f(x) = g(x)$ имеет не более одного корня.

Попробуем найти этот корень методом подбора, проверяя небольшие целые значения $x$.

При $x = 2$:

Левая часть: $7^2 = 49$.

Правая часть: $51 - 2 = 49$.

Так как $49 = 49$, то $x = 2$ является корнем уравнения. В силу единственности, это и есть решение.

Ответ: $2$

2) $3^{x-1} + 5^{x-1} = 34$

Рассмотрим функцию в левой части уравнения $f(x) = 3^{x-1} + 5^{x-1}$.

Эта функция представляет собой сумму двух показательных функций $y_1 = 3^{x-1}$ и $y_2 = 5^{x-1}$. Поскольку основания степеней $(3$ и $5)$ больше 1, обе эти функции являются строго возрастающими. Сумма двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией.

Следовательно, функция $f(x)$ строго возрастает на всей области определения. Это означает, что любое свое значение она принимает ровно один раз. Таким образом, уравнение $f(x) = 34$ может иметь не более одного корня.

Найдем корень методом подбора.

При $x = 3$:

$3^{3-1} + 5^{3-1} = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$.

Получаем верное равенство $34 = 34$. Значит, $x = 3$ является корнем уравнения. Так как корень единственный, других решений нет.

Ответ: $3$

3) $2^{|x|} = \cos x$

Оценим область значений функций в левой и правой частях уравнения.

Для левой части $f(x) = 2^{|x|}$: так как показатель степени $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то значение функции $2^{|x|} \ge 2^0 = 1$. Таким образом, область значений функции $f(x)$ — это промежуток $[1, +\infty)$.

Для правой части $g(x) = \cos x$: область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$.

Равенство $f(x) = g(x)$ возможно только тогда, когда значения обеих функций совпадают. Единственное значение, которое принадлежит обеим областям значений ($[1, +\infty)$ и $[-1, 1]$), это число 1.

Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} 2^{|x|} = 1 \\ \cos x = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$2^{|x|} = 1 \implies 2^{|x|} = 2^0 \implies |x| = 0 \implies x = 0$.

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x = 0$ второму уравнению системы:

$\cos(0) = 1$.

Равенство верно. Таким образом, $x = 0$ является единственным решением системы, а значит и исходного уравнения.

Ответ: $0$