Номер 11, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. Решите уравнение:

1) $5^x + 5^{x+2} = 130;$

2) $2^x + 3 \cdot 2^{x-1} = 20;$

3) $2 \cdot 3^{x+1} - 4 \cdot 3^{x-2} - 25 \cdot 3^{x-3} = 375;$

4) $3 \cdot 2^{12x-1} - 4^{6x-1} + 5 \cdot 8^{4x-1} = 60;$

5) $2^x + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 5^x + 5^{x-1} - 28 \cdot 5^{x-2};$

6) $4^x - 3^{x-0,5} = 3^{x+0,5} - 2^{2x-1}.$

1) $5^x + 5^{x+2} = 130$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать второе слагаемое:

$5^{x+2} = 5^x \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^x$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$5^x + 25 \cdot 5^x = 130$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x(1 + 25) = 130$

$5^x \cdot 26 = 130$

Разделим обе части уравнения на 26:

$5^x = \frac{130}{26}$

$5^x = 5$

Так как $5 = 5^1$, получаем:

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

2) $2^x + 3 \cdot 2^{x-1} = 20$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, чтобы преобразовать второе слагаемое:

$2^{x-1} = \frac{2^x}{2^1} = \frac{2^x}{2}$

Подставим это в уравнение:

$2^x + 3 \cdot \frac{2^x}{2} = 20$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(1 + \frac{3}{2}) = 20$

$2^x(\frac{2}{2} + \frac{3}{2}) = 20$

$2^x \cdot \frac{5}{2} = 20$

Умножим обе части на $\frac{2}{5}$:

$2^x = 20 \cdot \frac{2}{5}$

$2^x = 8$

Представим 8 как степень двойки: $8 = 2^3$.

$2^x = 2^3$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

3) $2 \cdot 3^{x+1} - 4 \cdot 3^{x-2} - 25 \cdot 3^{x-3} = 375$

Преобразуем все слагаемые, приведя их к основанию $3^x$:

$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$

$3^{x-2} = \frac{3^x}{3^2} = \frac{3^x}{9}$

$3^{x-3} = \frac{3^x}{3^3} = \frac{3^x}{27}$

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$2 \cdot (3 \cdot 3^x) - 4 \cdot (\frac{3^x}{9}) - 25 \cdot (\frac{3^x}{27}) = 375$

$6 \cdot 3^x - \frac{4}{9} \cdot 3^x - \frac{25}{27} \cdot 3^x = 375$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x(6 - \frac{4}{9} - \frac{25}{27}) = 375$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 27:

$3^x(\frac{6 \cdot 27}{27} - \frac{4 \cdot 3}{27} - \frac{25}{27}) = 375$

$3^x(\frac{162 - 12 - 25}{27}) = 375$

$3^x(\frac{125}{27}) = 375$

Решим относительно $3^x$:

$3^x = 375 \cdot \frac{27}{125}$

$3^x = 3 \cdot 27$

$3^x = 81$

Представим 81 как степень тройки: $81 = 3^4$.

$3^x = 3^4$

$x = 4$

Ответ: $x = 4$.

4) $3 \cdot 2^{12x-1} - 4^{6x-1} + 5 \cdot 8^{4x-1} = 60$

Приведем все степени к основанию 2:

$4^{6x-1} = (2^2)^{6x-1} = 2^{2(6x-1)} = 2^{12x-2}$

$8^{4x-1} = (2^3)^{4x-1} = 2^{3(4x-1)} = 2^{12x-3}$

Подставим в уравнение:

$3 \cdot 2^{12x-1} - 2^{12x-2} + 5 \cdot 2^{12x-3} = 60$

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $2^{12x-3}$:

$2^{12x-3} \cdot (3 \cdot 2^2 - 2^1 + 5 \cdot 2^0) = 60$

Упростим выражение в скобках:

$2^{12x-3} \cdot (3 \cdot 4 - 2 + 5 \cdot 1) = 60$

$2^{12x-3} \cdot (12 - 2 + 5) = 60$

$2^{12x-3} \cdot 15 = 60$

Разделим обе части на 15:

$2^{12x-3} = \frac{60}{15}$

$2^{12x-3} = 4$

Представим 4 как степень двойки: $4 = 2^2$.

$2^{12x-3} = 2^2$

Приравняем показатели степеней:

$12x - 3 = 2$

$12x = 5$

$x = \frac{5}{12}$

Ответ: $x = \frac{5}{12}$.

5) $2^x + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 5^x + 5^{x-1} - 28 \cdot 5^{x-2}$

Упростим левую и правую части уравнения по отдельности.

Левая часть: вынесем за скобки $2^{x-2}$.

$2^{x-2}(2^2 + 2^1 - 1) = 2^{x-2}(4 + 2 - 1) = 5 \cdot 2^{x-2}$

Правая часть: вынесем за скобки $5^{x-2}$.

$5^{x-2}(5^2 + 5^1 - 28) = 5^{x-2}(25 + 5 - 28) = 2 \cdot 5^{x-2}$

Получаем уравнение:

$5 \cdot 2^{x-2} = 2 \cdot 5^{x-2}$

Сгруппируем степени с одинаковыми показателями. Разделим обе части на $5^{x-2}$ и на 5:

$\frac{2^{x-2}}{5^{x-2}} = \frac{2}{5}$

Используем свойство $\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m$:

$(\frac{2}{5})^{x-2} = (\frac{2}{5})^1$

Приравняем показатели степеней:

$x - 2 = 1$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

6) $4^x - 3^{x-0,5} = 3^{x+0,5} - 2^{2x-1}$

Представим $4^x$ как $(2^2)^x = 2^{2x}$ и сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$2^{2x} + 2^{2x-1} = 3^{x+0,5} + 3^{x-0,5}$

Вынесем общие множители в левой и правой частях.

В левой части вынесем $2^{2x-1}$:

$2^{2x-1}(2^1 + 1) = 2^{2x-1} \cdot 3$

В правой части вынесем $3^{x-0,5}$:

$3^{x-0,5}(3^1 + 1) = 3^{x-0,5} \cdot 4$

Получаем уравнение:

$3 \cdot 2^{2x-1} = 4 \cdot 3^{x-0,5}$

Разделим обе части на 3 и на 4:

$\frac{2^{2x-1}}{4} = \frac{3^{x-0,5}}{3}$

Представим 4 как $2^2$ и 3 как $3^1$:

$\frac{2^{2x-1}}{2^2} = \frac{3^{x-0,5}}{3^1}$

Используем свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{(2x-1)-2} = 3^{(x-0,5)-1}$

$2^{2x-3} = 3^{x-1,5}$

Заметим, что $2x-3 = 2(x-1,5)$.

$2^{2(x-1,5)} = 3^{x-1,5}$

$(2^2)^{x-1,5} = 3^{x-1,5}$

$4^{x-1,5} = 3^{x-1,5}$

Разделим обе части на $3^{x-1,5}$ (это возможно, так как $3^{x-1,5} \neq 0$):

$(\frac{4}{3})^{x-1,5} = 1$

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, поэтому:

$x - 1,5 = 0$

$x = 1,5$

Ответ: $x = 1,5$.