Номер 5, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Сравните числа $m$ и $n$, если:

1) $2,4^m > 2,4^n$;

2) $0,9^m > 0,9^n$;

3) $\left(\frac{\pi}{4}\right)^m < \left(\frac{\pi}{4}\right)^n$.

1) Дано показательное неравенство $2,4^m > 2,4^n$.

Для решения сравним основание степени с единицей. Основание $a = 2,4$.

Так как $a = 2,4 > 1$, показательная функция $y = 2,4^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе к сравнению показателей степеней знак неравенства сохраняется.

Из $2,4^m > 2,4^n$ следует, что $m > n$.

Ответ: $m > n$.

2) Дано показательное неравенство $0,9^m > 0,9^n$.

Сравним основание степени с единицей. Основание $a = 0,9$.

Так как $0 < a = 0,9 < 1$, показательная функция $y = 0,9^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к сравнению показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный.

Из $0,9^m > 0,9^n$ следует, что $m < n$.

Ответ: $m < n$.

3) Дано показательное неравенство $(\frac{\pi}{4})^m < (\frac{\pi}{4})^n$.

Сравним основание степени $a = \frac{\pi}{4}$ с единицей. Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14159...$

Так как $\pi < 4$, то дробь $\frac{\pi}{4} < 1$. При этом $\frac{\pi}{4} > 0$.

Таким образом, основание $0 < a = \frac{\pi}{4} < 1$, и показательная функция $y = (\frac{\pi}{4})^x$ является убывающей. Это означает, что меньшему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе к сравнению показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный.

Из $(\frac{\pi}{4})^m < (\frac{\pi}{4})^n$ следует, что $m > n$.

Ответ: $m > n$.