Номер 2, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Упростите выражение:

1) $(a\sqrt{7} - 5)(a\sqrt{7} + 5) - (a\sqrt{7} + 2)^2$;

2) $\frac{a^2\sqrt{2} + 3a\sqrt{2}}{a^2\sqrt{2} - 9}$.

1) $(a\sqrt{7} - 5)(a\sqrt{7} + 5) - (a\sqrt{7} + 2)^2$

Для решения этой задачи воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ и квадратом суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

1. Упростим первое слагаемое $(a\sqrt{7} - 5)(a\sqrt{7} + 5)$.
Применим формулу разности квадратов, где $x = a\sqrt{7}$ и $y = 5$:
$(a\sqrt{7})^2 - 5^2 = a^2(\sqrt{7})^2 - 25 = 7a^2 - 25$.

2. Упростим второе слагаемое $(a\sqrt{7} + 2)^2$.
Применим формулу квадрата суммы, где $x = a\sqrt{7}$ и $y = 2$:
$(a\sqrt{7})^2 + 2 \cdot a\sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = 7a^2 + 4a\sqrt{7} + 4$.

3. Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$(7a^2 - 25) - (7a^2 + 4a\sqrt{7} + 4)$.

4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$7a^2 - 25 - 7a^2 - 4a\sqrt{7} - 4 = (7a^2 - 7a^2) - 4a\sqrt{7} - (25 + 4) = 0 - 4a\sqrt{7} - 29 = -4a\sqrt{7} - 29$.

Ответ: $-4a\sqrt{7} - 29$.

2) $\frac{a^2\sqrt{2} + 3a\sqrt{2}}{a^2\sqrt{2} - 9}$

Выражение в знаменателе, скорее всего, содержит опечатку, так как в текущем виде дробь не сокращается осмысленным образом, кроме вынесения общего множителя в числителе: $\frac{a\sqrt{2}(a+3)}{a^2\sqrt{2} - 9}$.

В подобных задачах обычно предполагается возможность сокращения. Наиболее вероятная опечатка — пропущенный множитель $\sqrt{2}$ у числа 9 в знаменателе. Решим задачу с предположением, что исходное выражение должно выглядеть так: $\frac{a^2\sqrt{2} + 3a\sqrt{2}}{a^2\sqrt{2} - 9\sqrt{2}}$.

1. Вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе.
Числитель: $a^2\sqrt{2} + 3a\sqrt{2} = \sqrt{2}(a^2 + 3a)$.
Знаменатель: $a^2\sqrt{2} - 9\sqrt{2} = \sqrt{2}(a^2 - 9)$.

2. Подставим полученные выражения в дробь и сократим общий множитель $\sqrt{2}$:
$\frac{\sqrt{2}(a^2 + 3a)}{\sqrt{2}(a^2 - 9)} = \frac{a^2 + 3a}{a^2 - 9}$.

3. Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем $a$: $a^2 + 3a = a(a+3)$.
В знаменателе применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a-3)(a+3)$.

4. Перепишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:
$\frac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)}$.

5. Сократим общий множитель $(a+3)$, при условии, что $a+3 \neq 0$, то есть $a \neq -3$.
$\frac{a}{a-3}$.

Область допустимых значений исходного (исправленного) выражения: $a^2\sqrt{2} - 9\sqrt{2} \neq 0$, что означает $\sqrt{2}(a^2-9) \neq 0$, то есть $a \neq 3$ и $a \neq -3$.

Ответ: $\frac{a}{a-3}$.