Номер 53, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. При каких значениях $a$ число 3 является решением неравенства $\log_a(2x + 3) > 3$?

Для того чтобы число 3 было решением неравенства $log_{a}(2x+3) > 3$, оно должно удовлетворять этому неравенству при подстановке вместо $x$. Подставим $x=3$ в исходное неравенство:

$log_{a}(2 \cdot 3 + 3) > 3$

$log_{a}(6 + 3) > 3$

$log_{a}(9) > 3$

Теперь нам нужно решить полученное неравенство относительно переменной $a$. По определению логарифма, основание $a$ должно удовлетворять условиям: $a > 0$ и $a \neq 1$. Решение логарифмического неравенства зависит от значения основания, поэтому рассмотрим два случая.

1. Основание $a > 1$.
В этом случае логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием $a$: $3 = log_{a}(a^3)$.
Неравенство принимает вид:
$log_{a}(9) > log_{a}(a^3)$
Так как $a > 1$, то:
$9 > a^3$
$a^3 < 9$
$a < \sqrt[3]{9}$
Объединяя полученное решение с условием для этого случая ($a > 1$), получаем интервал: $1 < a < \sqrt[3]{9}$.

2. Основание $0 < a < 1$.
В этом случае логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
$log_{a}(9) > log_{a}(a^3)$
Так как $0 < a < 1$, то:
$9 < a^3$
$a^3 > 9$
$a > \sqrt[3]{9}$
Теперь нужно найти пересечение полученного результата $a > \sqrt[3]{9}$ с условием для этого случая ($0 < a < 1$). Так как $\sqrt[3]{9} > \sqrt[3]{8} = 2$, то очевидно, что не существует такого значения $a$, которое было бы одновременно меньше 1 и больше 2. Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем окончательное решение.

Ответ: $a \in (1; \sqrt[3]{9})$.