Номер 59, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. Решите неравенство $f'(x) \ge g'(x)$, если $f(x) = 2x^2 - 3x + 9$,

$g(x) = \ln \left(-\frac{x}{5}\right)$.

Для решения неравенства $f'(x) \geq g'(x)$ сначала необходимо найти производные функций $f(x)$ и $g(x)$.

1. Найдем производную функции $f(x) = 2x^2 - 3x + 9$.

Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:

$f'(x) = (2x^2)' - (3x)' + (9)' = 2 \cdot 2x - 3 + 0 = 4x - 3$.

2. Найдем производную функции $g(x) = \ln(-\frac{x}{5})$.

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным:

$-\frac{x}{5} > 0$

Умножим обе части неравенства на $-5$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$x < 0$

Таким образом, решение неравенства необходимо искать при $x \in (-\infty, 0)$.

Теперь найдем производную $g'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$:

$g'(x) = \frac{1}{-\frac{x}{5}} \cdot \left(-\frac{x}{5}\right)' = -\frac{5}{x} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{1}{x}$.

3. Составим и решим исходное неравенство, подставив в него найденные производные:

$f'(x) \geq g'(x)$

$4x - 3 \geq \frac{1}{x}$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$4x - 3 - \frac{1}{x} \geq 0$

$\frac{4x^2 - 3x - 1}{x} \geq 0$

4. Для решения этого рационального неравенства воспользуемся методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя $4x^2 - 3x - 1 = 0$ найдем через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.

$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.

$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

Корень знаменателя: $x = 0$.

Нанесем найденные точки $(-\frac{1}{4}, 0, 1)$ на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{4x^2 - 3x - 1}{x}$ на полученных интервалах. Так как неравенство нестрогое, корни числителя включаются в решение. Корень знаменателя всегда исключается.

Решением неравенства $\frac{4x^2 - 3x - 1}{x} \geq 0$ является объединение интервалов, где выражение положительно или равно нулю: $x \in [-\frac{1}{4}, 0) \cup [1, \infty)$.

5. На последнем шаге необходимо учесть область допустимых значений $x < 0$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\left([-\frac{1}{4}, 0) \cup [1, \infty)\right) \cap (-\infty, 0) = [-\frac{1}{4}, 0)$.

Ответ: $[-\frac{1}{4}, 0)$.