Номер 68, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. Исследуйте функцию и постройте её график:

1) $f(x) = xe^{-\frac{x^2}{2}}$;

2) $f(x) = x^3 - 3\ln x$;

3) $f(x) = \frac{1+\ln x}{x}$;

4) $f(x) = \log_2(4x - x^2)$.

1) $f(x) = xe^{-\frac{x^2}{2}}$

1. Область определения.

Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.

$f(-x) = (-x)e^{-\frac{(-x)^2}{2}} = -xe^{-\frac{x^2}{2}} = -f(x)$.

Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

При $x=0$, $f(0) = 0 \cdot e^0 = 0$. Пересечение с осью Oy в точке $(0,0)$.

При $f(x)=0$, $xe^{-\frac{x^2}{2}} = 0$. Так как $e^{-\frac{x^2}{2}} > 0$ для любого $x$, то $x=0$. Пересечение с осью Ox в точке $(0,0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: отсутствуют, так как функция непрерывна на всей числовой прямой.

Горизонтальные асимптоты: найдем предел $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$.

$\lim_{x \to +\infty} xe^{-\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{\frac{x^2}{2}}}$. Это неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Применим правило Лопиталя:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{(x)'}{(e^{\frac{x^2}{2}})'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^{\frac{x^2}{2}} \cdot x} = 0$.

Таким образом, $y=0$ (ось Ox) — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$. Так как функция нечетная, то $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$, и $y=0$ также является асимптотой при $x \to -\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную:

$f'(x) = (x)'e^{-\frac{x^2}{2}} + x(e^{-\frac{x^2}{2}})' = e^{-\frac{x^2}{2}} + x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot (-x) = e^{-\frac{x^2}{2}}(1-x^2)$.

Приравняем производную к нулю: $f'(x)=0 \Rightarrow 1-x^2=0 \Rightarrow x=\pm1$.

• При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

В точке $x=-1$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $f(-1) = -1 \cdot e^{-1/2} = -1/\sqrt{e}$.

В точке $x=1$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. $f(1) = 1 \cdot e^{-1/2} = 1/\sqrt{e}$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = (e^{-\frac{x^2}{2}}(1-x^2))' = (e^{-\frac{x^2}{2}})'(1-x^2) + e^{-\frac{x^2}{2}}(1-x^2)' = -xe^{-\frac{x^2}{2}}(1-x^2) + e^{-\frac{x^2}{2}}(-2x) = e^{-\frac{x^2}{2}}(-x+x^3-2x) = e^{-\frac{x^2}{2}}(x^3-3x) = x(x^2-3)e^{-\frac{x^2}{2}}$.

Приравняем вторую производную к нулю: $f''(x)=0 \Rightarrow x(x^2-3)=0 \Rightarrow x=0, x=\pm\sqrt{3}$.

• При $x \in (-\infty, -\sqrt{3})$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый (выпуклость вверх).
• При $x \in (-\sqrt{3}, 0)$, $f''(x) > 0$, график функции вогнутый (выпуклость вниз).
• При $x \in (0, \sqrt{3})$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый.
• При $x \in (\sqrt{3}, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график функции вогнутый.

Точки $x=0, x=\pm\sqrt{3}$ являются точками перегиба. Найдем их ординаты:

$f(0)=0$.

$f(\sqrt{3}) = \sqrt{3}e^{-3/2}$.

$f(-\sqrt{3}) = -\sqrt{3}e^{-3/2}$.

7. Построение графика.

На основе полученных данных строим график. Он проходит через начало координат, имеет минимум в точке $(-1, -1/\sqrt{e})$ и максимум в точке $(1, 1/\sqrt{e})$. Ось Ox является горизонтальной асимптотой. Точки перегиба: $(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}e^{-3/2})$, $(0,0)$, $(\sqrt{3}, \sqrt{3}e^{-3/2})$. График симметричен относительно начала координат.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Функция нечетная. Точка пересечения с осями: $(0,0)$. Горизонтальная асимптота: $y=0$. Функция возрастает на $(-1, 1)$, убывает на $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$. Точка максимума: $(1, 1/\sqrt{e})$. Точка минимума: $(-1, -1/\sqrt{e})$. График функции вогнутый на $(-\sqrt{3}, 0) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$, выпуклый на $(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (0, \sqrt{3})$. Точки перегиба: $(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}e^{-3/2})$, $(0,0)$, $(\sqrt{3}, \sqrt{3}e^{-3/2})$.

2) $f(x) = x^3 - 3\ln x$

1. Область определения.

Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x>0$. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.

Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечения с осью Oy нет, так как $x \ne 0$.

Для нахождения пересечения с осью Ox решим уравнение $x^3 - 3\ln x = 0$. Исследуем функцию на экстремумы (см. п. 5). Минимальное значение функции равно 1. Следовательно, $f(x) > 0$ на всей области определения, и пересечений с осью Ox нет.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: исследуем поведение функции на границе области определения при $x \to 0^+$.

$\lim_{x \to 0^+} (x^3 - 3\ln x) = 0 - 3(-\infty) = +\infty$.

Следовательно, прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные и наклонные асимптоты: исследуем поведение при $x \to +\infty$.

$\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 3\ln x) = \lim_{x \to +\infty} x^3(1 - \frac{3\ln x}{x^3}) = +\infty$, так как $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^3} = 0$. Горизонтальных асимптот нет.

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 3\ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty} (x^2 - \frac{3\ln x}{x}) = +\infty$. Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную:

$f'(x) = 3x^2 - \frac{3}{x} = \frac{3x^3 - 3}{x} = \frac{3(x-1)(x^2+x+1)}{x}$.

Приравняем производную к нулю: $f'(x)=0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1$ (так как $x>0$ и $x^2+x+1>0$).

• При $x \in (0, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=1$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $f(1) = 1^3 - 3\ln 1 = 1$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = (3x^2 - \frac{3}{x})' = 6x + \frac{3}{x^2}$.

Так как $x>0$, то $6x>0$ и $\frac{3}{x^2}>0$. Следовательно, $f''(x) > 0$ на всей области определения. Это означает, что график функции всегда вогнутый (выпуклый вниз). Точек перегиба нет.

7. Построение графика.

График имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Он убывает на интервале $(0,1)$ до точки минимума $(1,1)$, а затем возрастает на интервале $(1, +\infty)$. График всегда вогнутый.

Ответ: Область определения: $(0; +\infty)$. Функция не является ни четной, ни нечетной. Точек пересечения с осями нет. Вертикальная асимптота: $x=0$. Функция убывает на $(0, 1)$, возрастает на $(1, +\infty)$. Точка минимума: $(1, 1)$. График функции вогнутый на всей области определения. Точек перегиба нет.

3) $f(x) = \frac{1 + \ln x}{x}$

1. Область определения.

Из-за логарифма $x>0$, из-за знаменателя $x \ne 0$. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.

Область определения несимметрична, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечения с осью Oy нет ($x \ne 0$).

При $f(x)=0$, $\frac{1 + \ln x}{x} = 0 \Rightarrow 1 + \ln x = 0 \Rightarrow \ln x = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = 1/e$. Точка пересечения с осью Ox: $(1/e, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: при $x \to 0^+$.

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 + \ln x}{x} = \frac{-\infty}{0^+} = -\infty$.

Прямая $x=0$ (ось Oy) — вертикальная асимптота.

Горизонтальные асимптоты: при $x \to +\infty$.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \ln x}{x}$. По правилу Лопиталя: $\lim_{x \to +\infty} \frac{(1 + \ln x)'}{(x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = 0$.

Прямая $y=0$ (ось Ox) — горизонтальная асимптота.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную:

$f'(x) = \frac{(1+\ln x)'x - (1+\ln x)(x)'}{x^2} = \frac{(1/x)x - (1+\ln x)}{x^2} = \frac{1-1-\ln x}{x^2} = -\frac{\ln x}{x^2}$.

Приравняем производную к нулю: $f'(x)=0 \Rightarrow -\ln x = 0 \Rightarrow x=1$.

• При $x \in (0, 1)$, $\ln x < 0 \Rightarrow f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (1, +\infty)$, $\ln x > 0 \Rightarrow f'(x) < 0$, функция убывает.

В точке $x=1$ производная меняет знак с "+" на "-", значит, это точка локального максимума. $f(1) = \frac{1+\ln 1}{1} = 1$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = (-\frac{\ln x}{x^2})' = -\frac{(\ln x)'x^2 - \ln x (x^2)'}{x^4} = -\frac{(1/x)x^2 - 2x\ln x}{x^4} = -\frac{x - 2x\ln x}{x^4} = \frac{2x\ln x - x}{x^4} = \frac{2\ln x - 1}{x^3}$.

Приравняем вторую производную к нулю: $f''(x)=0 \Rightarrow 2\ln x - 1 = 0 \Rightarrow \ln x = 1/2 \Rightarrow x = e^{1/2} = \sqrt{e}$.

• При $x \in (0, \sqrt{e})$, $2\ln x - 1 < 0 \Rightarrow f''(x) < 0$, график выпуклый.
• При $x \in (\sqrt{e}, +\infty)$, $2\ln x - 1 > 0 \Rightarrow f''(x) > 0$, график вогнутый.

Точка $x=\sqrt{e}$ — точка перегиба. $f(\sqrt{e}) = \frac{1+\ln \sqrt{e}}{\sqrt{e}} = \frac{1+1/2}{\sqrt{e}} = \frac{3}{2\sqrt{e}}$.

7. Построение графика.

График начинается от $-\infty$ у вертикальной асимптоты $x=0$, возрастает, пересекает ось Ox в точке $(1/e, 0)$, достигает максимума в точке $(1,1)$, затем убывает, стремясь к горизонтальной асимптоте $y=0$. В точке $(\sqrt{e}, \frac{3}{2\sqrt{e}})$ происходит перегиб (изменение с выпуклости на вогнутость).

Ответ: Область определения: $(0; +\infty)$. Точка пересечения с осью Ox: $(1/e, 0)$. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=0$. Функция возрастает на $(0, 1)$, убывает на $(1, +\infty)$. Точка максимума: $(1, 1)$. График функции выпуклый на $(0, \sqrt{e})$, вогнутый на $(\sqrt{e}, +\infty)$. Точка перегиба: $(\sqrt{e}, \frac{3}{2\sqrt{e}})$.

4) $f(x) = \log_2(4x - x^2)$

1. Область определения.

Аргумент логарифма должен быть положительным: $4x - x^2 > 0 \Rightarrow x(4-x) > 0$. Решая неравенство, получаем $D(f) = (0; 4)$.

2. Четность/нечетность.

Область определения несимметрична относительно нуля. Проверим симметрию относительно центра интервала $x=2$: $f(2+h) = \log_2(4(2+h)-(2+h)^2) = \log_2(8+4h-4-4h-h^2)=\log_2(4-h^2)$. $f(2-h) = \log_2(4(2-h)-(2-h)^2) = \log_2(8-4h-4+4h-h^2)=\log_2(4-h^2)$. Так как $f(2+h)=f(2-h)$, график функции симметричен относительно прямой $x=2$.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечения с осью Oy нет ($x \ne 0$).

При $f(x)=0$, $\log_2(4x-x^2) = 0 \Rightarrow 4x-x^2 = 2^0 = 1 \Rightarrow x^2-4x+1=0$.

Решаем квадратное уравнение: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$. Обе точки, $2-\sqrt{3}$ и $2+\sqrt{3}$, принадлежат области определения. Точки пересечения с осью Ox: $(2-\sqrt{3}, 0)$ и $(2+\sqrt{3}, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: на границах области определения.

$\lim_{x \to 0^+} \log_2(4x-x^2) = \log_2(0^+) = -\infty$.

$\lim_{x \to 4^-} \log_2(4x-x^2) = \log_2(0^+) = -\infty$.

Прямые $x=0$ и $x=4$ — вертикальные асимптоты.

Горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как область определения — конечный интервал.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $f'(x) = \frac{(4x-x^2)'}{(4x-x^2)\ln 2} = \frac{4-2x}{(4x-x^2)\ln 2}$.

Приравняем производную к нулю: $f'(x)=0 \Rightarrow 4-2x = 0 \Rightarrow x=2$.

• При $x \in (0, 2)$, $4-2x > 0 \Rightarrow f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (2, 4)$, $4-2x < 0 \Rightarrow f'(x) < 0$, функция убывает.

В точке $x=2$ производная меняет знак с "+" на "-", значит, это точка локального максимума. $f(2) = \log_2(4 \cdot 2 - 2^2) = \log_2(4) = 2$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{4-2x}{4x-x^2} \right)' = \frac{1}{\ln 2} \frac{-2(4x-x^2)-(4-2x)(4-2x)}{(4x-x^2)^2} = \frac{1}{\ln 2} \frac{-8x+2x^2-(16-16x+4x^2)}{(4x-x^2)^2} = \frac{-2x^2+8x-16}{(4x-x^2)^2 \ln 2} = \frac{-2(x^2-4x+8)}{(4x-x^2)^2 \ln 2}$.

Знаменатель всегда положителен. Числитель $x^2-4x+8$ имеет отрицательный дискриминант ($D=16-32=-16$) и старший коэффициент > 0, поэтому $x^2-4x+8 > 0$ всегда. Тогда $-2(x^2-4x+8) < 0$.

Следовательно, $f''(x) < 0$ на всей области определения. График функции всегда выпуклый (выпуклый вверх). Точек перегиба нет.

7. Построение графика.

График ограничен вертикальными асимптотами $x=0$ и $x=4$. Он симметричен относительно прямой $x=2$. График возрастает от $-\infty$ до точки максимума $(2,2)$, а затем убывает до $-\infty$. Пересекает ось Ox в точках $(2-\sqrt{3}, 0)$ и $(2+\sqrt{3}, 0)$. График имеет форму арки.

Ответ: Область определения: $(0; 4)$. График симметричен относительно прямой $x=2$. Точки пересечения с осью Ox: $(2-\sqrt{3}, 0)$ и $(2+\sqrt{3}, 0)$. Вертикальные асимптоты: $x=0$ и $x=4$. Функция возрастает на $(0, 2)$, убывает на $(2, 4)$. Точка максимума: $(2, 2)$. График функции выпуклый на всей области определения. Точек перегиба нет.