Номер 76, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, удовлетворяющую данному условию:

1) $f(x) = 5 + 6x - 9x^2$, $I = (-\infty; +\infty)$, $F(-3) = 100$;

2) $f(x) = 13x^{12} + \frac{7}{6\sqrt{x}}$, $I = (0; +\infty)$, $F(1) = 0$;

3) $f(x) = \frac{3}{x^2} - 4$, $I = (0; +\infty)$, $F(1,5) = -3$.

1)

Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 5 + 6x - 9x^2$, нужно найти ее неопределенный интеграл.
$F(x) = \int f(x) dx = \int (5 + 6x - 9x^2) dx$
Используя правила интегрирования, получаем:
$F(x) = 5x + 6 \cdot \frac{x^2}{2} - 9 \cdot \frac{x^3}{3} + C = 5x + 3x^2 - 3x^3 + C$
Здесь $C$ — константа интегрирования. Чтобы найти ее значение, используем данное условие $F(-3) = 100$. Подставляем $x = -3$ в выражение для $F(x)$:
$F(-3) = 5(-3) + 3(-3)^2 - 3(-3)^3 + C = 100$
$-15 + 3(9) - 3(-27) + C = 100$
$-15 + 27 + 81 + C = 100$
$93 + C = 100$
$C = 100 - 93 = 7$
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 5x + 3x^2 - 3x^3 + 7$.

Ответ: $F(x) = 5x + 3x^2 - 3x^3 + 7$

2)

Дана функция $f(x) = 13x^{12} + \frac{7}{6\sqrt{x}}$. Преобразуем ее для удобства интегрирования, представив корень как степень:
$f(x) = 13x^{12} + \frac{7}{6}x^{-1/2}$
Находим общий вид первообразной:
$F(x) = \int (13x^{12} + \frac{7}{6}x^{-1/2}) dx = 13 \cdot \frac{x^{13}}{13} + \frac{7}{6} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$
$F(x) = x^{13} + \frac{7}{6} \cdot 2x^{1/2} + C = x^{13} + \frac{7}{3}\sqrt{x} + C$
Используем условие $F(1) = 0$, чтобы найти константу $C$:
$F(1) = 1^{13} + \frac{7}{3}\sqrt{1} + C = 0$
$1 + \frac{7}{3} + C = 0$
$\frac{3}{3} + \frac{7}{3} + C = 0$
$\frac{10}{3} + C = 0$
$C = -\frac{10}{3}$
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = x^{13} + \frac{7}{3}\sqrt{x} - \frac{10}{3}$.

Ответ: $F(x) = x^{13} + \frac{7}{3}\sqrt{x} - \frac{10}{3}$

3)

Дана функция $f(x) = \frac{3}{x^2} - 4$. Запишем ее в виде, удобном для интегрирования:
$f(x) = 3x^{-2} - 4$
Находим общий вид первообразной:
$F(x) = \int (3x^{-2} - 4) dx = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} - 4x + C = -3x^{-1} - 4x + C = -\frac{3}{x} - 4x + C$
Используем условие $F(1,5) = -3$. Подставим $x = 1,5 = \frac{3}{2}$ в выражение для $F(x)$:
$F(1,5) = -\frac{3}{1,5} - 4(1,5) + C = -3$
$-\frac{3}{3/2} - 6 + C = -3$
$-2 - 6 + C = -3$
$-8 + C = -3$
$C = -3 + 8 = 5$
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = -\frac{3}{x} - 4x + 5$.

Ответ: $F(x) = -\frac{3}{x} - 4x + 5$