Страница 12 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Решите неравенство:

1) $\log_{15} x > \log_{15} 4$;

2) $\log_{20} x < \log_{20} 2$;

3) $\log_{0,3} x > \log_{0,3} 9$;

4) $\log_{\frac{2}{7}} x < \log_{\frac{2}{7}} \frac{2}{3}$;

5) $\log_3 x > 2$;

6) $\log_8 x \le 1$;

7) $\log_{0,2} x \ge -2$;

8) $\log_{\frac{1}{27}} x < \frac{1}{3}$;

9) $\log_5 (2x - 7) < 3$;

10) $\log_{0,3} (6 - x) > -1$;

11) $\log_{0,7} (3x - 5) < \log_{0,7} (x + 1)$;

12) $\log_5 (4x - 3) > \log_5 (3 - 2x)$;

13) $\log_{\frac{1}{6}} (x + 4) > \log_{\frac{1}{6}} (x^2 + 2x - 2)$;

14) $2\log_2 (-x) \ge \log_2 (2x + 8)$;

15) $\log_9 (x^2 - 6x + 8) \le 0,5$;

16) $\log_{0,8} (2x^2 + 3x + 1) \ge 2\log_{0,8} (1 - x)$.

1)

Исходное неравенство: $log_{15} x > log_{15} 4$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Основание логарифма $15 > 1$, поэтому логарифмическая функция возрастающая. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется.
$x > 4$.
Пересекая с ОДЗ ($x > 0$), получаем $x > 4$.
Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

2)

Исходное неравенство: $log_{20} x < log_{20} 2$.
ОДЗ: $x > 0$.
Основание логарифма $20 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
$x < 2$.
С учетом ОДЗ получаем $0 < x < 2$.
Ответ: $x \in (0; 2)$.

3)

Исходное неравенство: $log_{0,3} x > log_{0,3} 9$.
ОДЗ: $x > 0$.
Основание логарифма $0 < 0,3 < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный.
$x < 9$.
С учетом ОДЗ получаем $0 < x < 9$.
Ответ: $x \in (0; 9)$.

4)

Исходное неравенство: $log_{\frac{2}{7}} x < log_{\frac{2}{7}} \frac{2}{3}$.
ОДЗ: $x > 0$.
Основание логарифма $0 < \frac{2}{7} < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный.
$x > \frac{2}{3}$.
Пересекая с ОДЗ ($x > 0$), получаем $x > \frac{2}{3}$.
Ответ: $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

5)

Исходное неравенство: $log_3 x > 2$.
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3: $2 = log_3 3^2 = log_3 9$.
Неравенство принимает вид: $log_3 x > log_3 9$.
Основание $3 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
$x > 9$.
С учетом ОДЗ ($x > 0$), получаем $x > 9$.
Ответ: $x \in (9; +\infty)$.

6)

Исходное неравенство: $log_8 x \le 1$.
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть: $1 = log_8 8^1 = log_8 8$.
Неравенство принимает вид: $log_8 x \le log_8 8$.
Основание $8 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
$x \le 8$.
С учетом ОДЗ получаем $0 < x \le 8$.
Ответ: $x \in (0; 8]$.

7)

Исходное неравенство: $log_{0,2} x \ge -2$.
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть: $-2 = log_{0,2} (0,2)^{-2} = log_{0,2} (\frac{1}{5})^{-2} = log_{0,2} 25$.
Неравенство принимает вид: $log_{0,2} x \ge log_{0,2} 25$.
Основание $0 < 0,2 < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется.
$x \le 25$.
С учетом ОДЗ получаем $0 < x \le 25$.
Ответ: $x \in (0; 25]$.

8)

Исходное неравенство: $log_{\frac{1}{27}} x < \frac{1}{3}$.
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть: $\frac{1}{3} = log_{\frac{1}{27}} (\frac{1}{27})^{\frac{1}{3}} = log_{\frac{1}{27}} \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = log_{\frac{1}{27}} \frac{1}{3}$.
Неравенство принимает вид: $log_{\frac{1}{27}} x < log_{\frac{1}{27}} \frac{1}{3}$.
Основание $0 < \frac{1}{27} < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется.
$x > \frac{1}{3}$.
С учетом ОДЗ ($x>0$), получаем $x > \frac{1}{3}$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.

9)

Исходное неравенство: $log_5 (2x - 7) < 3$.
ОДЗ: $2x - 7 > 0 \implies 2x > 7 \implies x > 3,5$.
Представим правую часть: $3 = log_5 5^3 = log_5 125$.
Неравенство: $log_5 (2x - 7) < log_5 125$.
Основание $5 > 1$, функция возрастающая, знак сохраняется.
$2x - 7 < 125 \implies 2x < 132 \implies x < 66$.
С учетом ОДЗ ($x > 3,5$) получаем $3,5 < x < 66$.
Ответ: $x \in (3,5; 66)$.

10)

Исходное неравенство: $log_{0,3} (6 - x) > -1$.
ОДЗ: $6 - x > 0 \implies x < 6$.
Представим правую часть: $-1 = log_{0,3} (0,3)^{-1} = log_{0,3} \frac{10}{3}$.
Неравенство: $log_{0,3} (6 - x) > log_{0,3} \frac{10}{3}$.
Основание $0 < 0,3 < 1$, функция убывающая, знак меняется.
$6 - x < \frac{10}{3} \implies 6 - \frac{10}{3} < x \implies \frac{18 - 10}{3} < x \implies x > \frac{8}{3}$.
С учетом ОДЗ ($x < 6$) получаем $\frac{8}{3} < x < 6$.
Ответ: $x \in (\frac{8}{3}; 6)$.

11)

Исходное неравенство: $log_{0,7} (3x - 5) < log_{0,7} (x + 1)$.
ОДЗ:$\begin{cases} 3x - 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{5}{3} \\ x > -1 \end{cases} \implies x > \frac{5}{3}$.
Основание $0 < 0,7 < 1$, функция убывающая, знак меняется.
$3x - 5 > x + 1 \implies 2x > 6 \implies x > 3$.
С учетом ОДЗ ($x > \frac{5}{3}$) получаем $x > 3$.
Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

12)

Исходное неравенство: $log_5 (4x - 3) > log_5 (3 - 2x)$.
ОДЗ:$\begin{cases} 4x - 3 > 0 \\ 3 - 2x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{3}{4} \\ x < \frac{3}{2} \end{cases} \implies \frac{3}{4} < x < \frac{3}{2}$.
Основание $5 > 1$, функция возрастающая, знак сохраняется.
$4x - 3 > 3 - 2x \implies 6x > 6 \implies x > 1$.
С учетом ОДЗ ($\frac{3}{4} < x < \frac{3}{2}$) получаем $1 < x < \frac{3}{2}$.
Ответ: $x \in (1; 1,5)$.

13)

Исходное неравенство: $log_{\frac{1}{6}} (x + 4) > log_{\frac{1}{6}} (x^2 + 2x - 2)$.
ОДЗ:$\begin{cases} x + 4 > 0 \\ x^2 + 2x - 2 > 0 \end{cases}$. Первое неравенство: $x > -4$. Второе неравенство: $x^2 + 2x - 2 = 0 \implies x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4(1)(-2)}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$. Значит, $x^2 + 2x - 2 > 0$ при $x \in (-\infty; -1-\sqrt{3}) \cup (-1+\sqrt{3}; +\infty)$. Общая ОДЗ: $x \in (-4; -1-\sqrt{3}) \cup (-1+\sqrt{3}; +\infty)$.
Основание $0 < \frac{1}{6} < 1$, функция убывающая, знак меняется.
$x + 4 < x^2 + 2x - 2 \implies x^2 + x - 6 > 0$.
Корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$ это $x=-3$ и $x=2$. Решение неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.
Пересекаем решение с ОДЗ:1) $(-4; -1-\sqrt{3}) \cap (-\infty; -3) = (-4; -3)$, так как $-3 < -1-\sqrt{3} \approx -2.73$.2) $(-1+\sqrt{3}; +\infty) \cap (2; +\infty) = (2; +\infty)$, так как $2 > -1+\sqrt{3} \approx 0.73$.
Ответ: $x \in (-4; -3) \cup (2; +\infty)$.

14)

Исходное неравенство: $2log_2 (-x) \ge log_2 (2x + 8)$.
ОДЗ:$\begin{cases} -x > 0 \\ 2x + 8 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x > -4 \end{cases} \implies -4 < x < 0$.
Преобразуем неравенство: $log_2 ((-x)^2) \ge log_2 (2x + 8) \implies log_2 (x^2) \ge log_2 (2x + 8)$.
Основание $2 > 1$, функция возрастающая, знак сохраняется.
$x^2 \ge 2x + 8 \implies x^2 - 2x - 8 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ это $x=-2$ и $x=4$. Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2] \cup [4; +\infty)$.
Пересекаем с ОДЗ ($-4 < x < 0$): $(-4; -2]$.
Ответ: $x \in (-4; -2]$.

15)

Исходное неравенство: $log_9 (x^2 - 6x + 8) \le 0,5$.
ОДЗ: $x^2 - 6x + 8 > 0$. Корни $x=2, x=4$. Решение: $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$.
Преобразуем правую часть: $0,5 = log_9 9^{0,5} = log_9 3$.
Неравенство: $log_9 (x^2 - 6x + 8) \le log_9 3$.
Основание $9 > 1$, функция возрастающая, знак сохраняется.
$x^2 - 6x + 8 \le 3 \implies x^2 - 6x + 5 \le 0$.
Корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$ это $x=1$ и $x=5$. Решение неравенства: $x \in [1; 5]$.
Пересекаем с ОДЗ ($x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$): $[1; 2) \cup (4; 5]$.
Ответ: $x \in [1; 2) \cup (4; 5]$.

16)

Исходное неравенство: $log_{0,8} (2x^2 + 3x + 1) \ge 2log_{0,8} (1 - x)$.
ОДЗ:$\begin{cases} 2x^2 + 3x + 1 > 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases}$. Первое неравенство: корни $x=-1, x=-0.5$. Решение: $x \in (-\infty; -1) \cup (-0.5; +\infty)$. Второе неравенство: $x < 1$. Общая ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-0.5; 1)$.
Преобразуем неравенство: $log_{0,8} (2x^2 + 3x + 1) \ge log_{0,8} ((1-x)^2)$.
Основание $0 < 0,8 < 1$, функция убывающая, знак меняется.
$2x^2 + 3x + 1 \le (1-x)^2 \implies 2x^2 + 3x + 1 \le 1 - 2x + x^2$.
$x^2 + 5x \le 0 \implies x(x+5) \le 0$.
Решение этого неравенства: $x \in [-5; 0]$.
Пересекаем с ОДЗ ($x \in (-\infty; -1) \cup (-0.5; 1)$): $[-5; -1) \cup (-0.5; 0]$.
Ответ: $x \in [-5; -1) \cup (-0,5; 0]$.