Страница 7 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Решите неравенство:

1) $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} \le 5$;

2) $0,5^{x-1} + 0,5^{x+1} \ge 80$.

1) $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} \le 5$

Для решения данного показательного неравенства преобразуем его левую часть, используя свойства степеней. Вынесем за скобки общий множитель $2^{x-1}$ (как степень с наименьшим показателем):

$2^{x-1} \cdot 2^3 - 2^{x-1} \cdot 2^2 + 2^{x-1} \cdot 1 \le 5$

Вынесем $2^{x-1}$ за скобки:

$2^{x-1} (2^3 - 2^2 + 1) \le 5$

Вычислим значение выражения в скобках:

$2^{x-1} (8 - 4 + 1) \le 5$

$2^{x-1} \cdot 5 \le 5$

Разделим обе части неравенства на 5 (так как 5 > 0, знак неравенства не меняется):

$2^{x-1} \le 1$

Представим 1 как степень с основанием 2:

$2^{x-1} \le 2^0$

Так как основание степени $a=2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x - 1 \le 0$

$x \le 1$

Ответ: $(-\infty; 1]$.

2) $0,5^{x-1} + 0,5^{x+1} \ge 80$

Представим десятичную дробь $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$ и преобразуем левую часть неравенства. Вынесем за скобки общий множитель $(\frac{1}{2})^{x-1}$:

$(\frac{1}{2})^{x-1} + (\frac{1}{2})^{x-1} \cdot (\frac{1}{2})^2 \ge 80$

Вынесем $(\frac{1}{2})^{x-1}$ за скобки:

$(\frac{1}{2})^{x-1} (1 + (\frac{1}{2})^2) \ge 80$

Вычислим значение выражения в скобках:

$(\frac{1}{2})^{x-1} (1 + \frac{1}{4}) \ge 80$

$(\frac{1}{2})^{x-1} \cdot \frac{5}{4} \ge 80$

Разделим обе части неравенства на $\frac{5}{4}$ (умножим на $\frac{4}{5}$):

$(\frac{1}{2})^{x-1} \ge 80 \cdot \frac{4}{5}$

$(\frac{1}{2})^{x-1} \ge 16 \cdot 4$

$(\frac{1}{2})^{x-1} \ge 64$

Представим обе части неравенства в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$. Для этого заметим, что $64 = 2^6 = (\frac{1}{2})^{-6}$.

$(\frac{1}{2})^{x-1} \ge (\frac{1}{2})^{-6}$

Так как основание степени $a=\frac{1}{2}$, где $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{2})^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 1 \le -6$

$x \le -6 + 1$

$x \le -5$

Ответ: $(-\infty; -5]$.

20. Решите неравенство:

1) $4^x - 12 \cdot 2^x + 32 \ge 0;$

2) $7^{2x+1} - 8 \cdot 7^x + 1 < 0;$

3) $36^{x+0.5} + 5 \cdot 6^x - 1 \ge 0;$

4) $5^{-x} + 24 \le 25 \cdot 5^x;$

5) $8 \cdot 0.5^{2x} - 17 \cdot 0.5^x + 2 \le 0;$

6) $9^{x+1} + 26 \cdot 3^x - 3 < 0.$

1) $4^x - 12 \cdot 2^x + 32 \ge 0$

Преобразуем неравенство, заметив, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Выполним замену переменной: пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

После замены исходное неравенство сводится к квадратному неравенству относительно $t$:
$t^2 - 12t + 32 \ge 0$.

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 12t + 32 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 8$.

Графиком функции $y = t^2 - 12t + 32$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции неотрицательны ($y \ge 0$), когда переменная $t$ находится вне интервала между корнями, то есть при $t \le 4$ или $t \ge 8$.

Учитывая ограничение $t > 0$, получаем совокупность решений для $t$: $0 < t \le 4$ или $t \ge 8$.

Выполним обратную замену $t = 2^x$:

1. $0 < 2^x \le 4$. Левая часть $2^x > 0$ верна для любого $x$. Решаем правую часть: $2^x \le 4 \implies 2^x \le 2^2$. Так как основание степени $2 > 1$, то для показателей степени неравенство сохраняется: $x \le 2$.

2. $2^x \ge 8$. Представим $8$ как $2^3$: $2^x \ge 2^3$. Так как основание $2 > 1$, то $x \ge 3$.

Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

2) $7^{2x+1} - 8 \cdot 7^x + 1 < 0$

Преобразуем первый член неравенства, используя свойства степеней: $7^{2x+1} = 7^{2x} \cdot 7^1 = 7 \cdot (7^x)^2$.

Неравенство принимает вид: $7 \cdot (7^x)^2 - 8 \cdot 7^x + 1 < 0$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 7^x$. Так как $7^x > 0$ при любом $x$, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $7t^2 - 8t + 1 < 0$.

Найдем корни уравнения $7t^2 - 8t + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36$. Корни: $t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{14} = \frac{8 \pm 6}{14}$, откуда $t_1 = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$ и $t_2 = \frac{14}{14} = 1$.

Ветви параболы $y = 7t^2 - 8t + 1$ направлены вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется между корнями: $\frac{1}{7} < t < 1$. Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену: $\frac{1}{7} < 7^x < 1$.

Перепишем неравенство, используя степени с основанием 7: $7^{-1} < 7^x < 7^0$.

Так как основание степени $7 > 1$, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: $-1 < x < 0$.

Ответ: $x \in (-1, 0)$.

3) $36^{x+0,5} + 5 \cdot 6^x - 1 \ge 0$

Преобразуем первый член: $36^{x+0,5} = 36^x \cdot 36^{0,5} = (6^2)^x \cdot \sqrt{36} = 6 \cdot (6^x)^2$.

Неравенство принимает вид: $6 \cdot (6^x)^2 + 5 \cdot 6^x - 1 \ge 0$.

Пусть $t = 6^x$, где $t > 0$. Тогда получаем: $6t^2 + 5t - 1 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $6t^2 + 5t - 1 = 0$. $D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$. Корни: $t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{12} = \frac{-5 \pm 7}{12}$, откуда $t_1 = \frac{-12}{12} = -1$ и $t_2 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Ветви параболы $y = 6t^2 + 5t - 1$ направлены вверх, значит, неравенство $y \ge 0$ выполняется при $t \le -1$ или $t \ge \frac{1}{6}$.

С учетом условия $t > 0$, из найденных решений подходит только $t \ge \frac{1}{6}$.

Выполняем обратную замену: $6^x \ge \frac{1}{6}$.

Перепишем в виде $6^x \ge 6^{-1}$.

Так как основание $6 > 1$, то для показателей степени неравенство сохраняется: $x \ge -1$.

Ответ: $x \in [-1, \infty)$.

4) $5^{-x} + 24 \le 25 \cdot 5^x$

Перепишем $5^{-x}$ как $\frac{1}{5^x}$. Неравенство примет вид: $\frac{1}{5^x} + 24 \le 25 \cdot 5^x$.

Сделаем замену $t = 5^x$, где $t > 0$. Получаем: $\frac{1}{t} + 24 \le 25t$.

Так как $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, не меняя знака неравенства: $1 + 24t \le 25t^2$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное неравенство: $25t^2 - 24t - 1 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $25t^2 - 24t - 1 = 0$. $D = (-24)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-1) = 576 + 100 = 676 = 26^2$. Корни: $t_{1,2} = \frac{24 \pm 26}{50}$, откуда $t_1 = \frac{-2}{50} = -\frac{1}{25}$ и $t_2 = \frac{50}{50} = 1$.

Ветви параболы $y = 25t^2 - 24t - 1$ направлены вверх, поэтому неравенство $y \ge 0$ выполняется при $t \le -\frac{1}{25}$ или $t \ge 1$.

Учитывая условие $t > 0$, подходит только решение $t \ge 1$.

Делаем обратную замену: $5^x \ge 1$.

Перепишем 1 как $5^0$: $5^x \ge 5^0$.

Так как основание $5 > 1$, то для показателей степени неравенство сохраняется: $x \ge 0$.

Ответ: $x \in [0, \infty)$.

5) $8 \cdot 0,5^{2x} - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0$

Заметим, что $0,5^{2x} = (0,5^x)^2$. Неравенство можно переписать как $8 \cdot (0,5^x)^2 - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0$.

Пусть $t = 0,5^x$. Так как $0,5^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $8t^2 - 17t + 2 \le 0$.

Найдем корни уравнения $8t^2 - 17t + 2 = 0$. $D = (-17)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2 = 289 - 64 = 225 = 15^2$. Корни: $t_{1,2} = \frac{17 \pm 15}{16}$, откуда $t_1 = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$ и $t_2 = \frac{32}{16} = 2$.

Ветви параболы $y = 8t^2 - 17t + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями: $\frac{1}{8} \le t \le 2$. Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену: $\frac{1}{8} \le 0,5^x \le 2$.

Представим все числа в виде степени с основанием $0,5$: $0,5^3 \le 0,5^x \le (0,5)^{-1}$.

Так как основание степени $0,5$ находится в интервале $(0, 1)$, при переходе к показателям степени знаки неравенства меняются на противоположные: $3 \ge x \ge -1$.

Запишем ответ в стандартном виде: $-1 \le x \le 3$.

Ответ: $x \in [-1, 3]$.

6) $9^{x+1} + 26 \cdot 3^x - 3 < 0$

Преобразуем первый член: $9^{x+1} = 9 \cdot 9^x = 9 \cdot (3^2)^x = 9 \cdot (3^x)^2$.

Неравенство принимает вид: $9 \cdot (3^x)^2 + 26 \cdot 3^x - 3 < 0$.

Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$. Тогда получаем: $9t^2 + 26t - 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $9t^2 + 26t - 3 = 0$. $D = 26^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-3) = 676 + 108 = 784 = 28^2$. Корни: $t_{1,2} = \frac{-26 \pm 28}{18}$, откуда $t_1 = \frac{-54}{18} = -3$ и $t_2 = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$.

Ветви параболы $y = 9t^2 + 26t - 3$ направлены вверх, значит, неравенство $y < 0$ выполняется между корнями: $-3 < t < \frac{1}{9}$.

С учетом условия $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{1}{9}$.

Выполняем обратную замену: $0 < 3^x < \frac{1}{9}$.

Левая часть $3^x > 0$ верна для любого $x$. Решаем правую часть: $3^x < \frac{1}{9}$.

Перепишем в виде $3^x < 3^{-2}$.

Так как основание $3 > 1$, то для показателей степени неравенство сохраняется: $x < -2$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2)$.

21. Решите неравенство:

1) $12^x - 2 \cdot 6^x - 36 \cdot 2^x + 72 \leq 0$;

2) $\frac{0,3^x - 0,0081}{7 - x} \geq 0$.

1) $12^x - 2 \cdot 6^x - 36 \cdot 2^x + 72 \le 0$

Преобразуем левую часть неравенства, представив $12^x$ как $2^x \cdot 6^x$, и сгруппируем слагаемые:

$(2^x \cdot 6^x - 2 \cdot 6^x) - (36 \cdot 2^x - 72) \le 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$6^x(2^x - 2) - 36(2^x - 2) \le 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(2^x - 2)$:

$(6^x - 36)(2^x - 2) \le 0$

Решим данное неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни выражений в скобках, приравняв их к нулю:

1) $6^x - 36 = 0 \implies 6^x = 36 \implies 6^x = 6^2 \implies x = 2$.

2) $2^x - 2 = 0 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.

Нанесем точки $x=1$ и $x=2$ на числовую ось. Они разделят ее на три промежутка. Определим знак произведения $(6^x - 36)(2^x - 2)$ на каждом из них:

- При $x > 2$: оба множителя $(6^x - 36)$ и $(2^x - 2)$ положительны. Произведение имеет знак "+".

- При $1 < x < 2$: множитель $(6^x - 36)$ отрицателен (т.к. $x < 2$), а множитель $(2^x - 2)$ положителен (т.к. $x > 1$). Произведение имеет знак "-".

- При $x < 1$: оба множителя $(6^x - 36)$ и $(2^x - 2)$ отрицательны. Произведение имеет знак "+".

Поскольку знак неравенства "$\le$", нас интересует промежуток, где произведение отрицательно или равно нулю. Это промежуток $[1; 2]$.

Ответ: $x \in [1, 2]$.

2) $\frac{0,3^x - 0,0081}{7 - x} \ge 0$

Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} (0,3^x - 0,0081)(7-x) \ge 0, \\ 7-x \neq 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство методом рационализации. Заметим, что $0,0081 = (0,3)^4$. Тогда неравенство можно переписать в виде:

$(0,3^x - 0,3^4)(7-x) \ge 0$

Поскольку показательная функция с основанием $a=0,3$ ($0 < a < 1$) является убывающей, знак разности $(0,3^x - 0,3^4)$ противоположен знаку разности показателей $(x-4)$. Таким образом, мы можем заменить выражение $(0,3^x - 0,3^4)$ на $-(x-4)$, сохранив знак неравенства:

$-(x-4)(7-x) \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак на противоположный:

$(x-4)(7-x) \le 0$

Вынесем $-1$ из второй скобки:

$-(x-4)(x-7) \le 0$

Снова умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:

$(x-4)(x-7) \ge 0$

Это квадратное неравенство. Его корни $x=4$ и $x=7$. Графиком функции $y=(x-4)(x-7)$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неотрицательны при $x \le 4$ и при $x \ge 7$.

Таким образом, решение этого неравенства: $(-\infty, 4] \cup [7, \infty)$.

Теперь учтем условие из системы, что $x \neq 7$. Исключая точку $x=7$ из полученного решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $(-\infty, 4] \cup (7, \infty)$.

22. Решите неравенство:

1) $2^{2x+1} - 5 \cdot 6^x + 3^{2x+1} \ge 0;$

2) $5 \cdot 25^{-\frac{1}{x}} + 3 \cdot 10^{-\frac{1}{x}} < 2 \cdot 4^{-\frac{1}{x}}.$

1) $2^{2x+1} - 5 \cdot 6^x + 3^{2x+1} \ge 0$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$2 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 3 \cdot 3^{2x} \ge 0$

$2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 3 \cdot (3^x)^2 \ge 0$

Это однородное показательное неравенство. Поскольку $3^{2x} = 9^x > 0$ для любого $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $3^{2x}$, не меняя знака неравенства:

$2 \cdot \frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} - 5 \cdot \frac{2^x \cdot 3^x}{3^x \cdot 3^x} + 3 \cdot \frac{(3^x)^2}{(3^x)^2} \ge 0$

$2 \cdot (\frac{2}{3})^{2x} - 5 \cdot (\frac{2}{3})^x + 3 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{2}{3})^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$2t^2 - 5t + 3 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2t^2 - 5t + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Корни: $t_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$, $t_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Парабола $y = 2t^2 - 5t + 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $2t^2 - 5t + 3 \ge 0$ выполняется при $t \le 1$ или $t \ge \frac{3}{2}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем совокупность:

$\left[ \begin{gathered} 0 < t \le 1, \\ t \ge \frac{3}{2} \end{gathered} \right.$

Вернемся к переменной $x$:

1. $0 < (\frac{2}{3})^x \le 1$. Так как $(\frac{2}{3})^x > 0$ всегда, решаем $(\frac{2}{3})^x \le 1$.

$(\frac{2}{3})^x \le (\frac{2}{3})^0$.

Основание степени $\frac{2}{3} < 1$, поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge 0$.

2. $(\frac{2}{3})^x \ge \frac{3}{2}$.

$(\frac{2}{3})^x \ge (\frac{2}{3})^{-1}$.

Основание степени $\frac{2}{3} < 1$, поэтому знак неравенства меняется:

$x \le -1$.

Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$.

2) $5 \cdot 25^{-\frac{1}{x}} + 3 \cdot 10^{-\frac{1}{x}} < 2 \cdot 4^{-\frac{1}{x}}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Представим основания степеней через простые множители 2 и 5:

$5 \cdot (5^2)^{-\frac{1}{x}} + 3 \cdot (2 \cdot 5)^{-\frac{1}{x}} < 2 \cdot (2^2)^{-\frac{1}{x}}$

$5 \cdot 5^{-\frac{2}{x}} + 3 \cdot 2^{-\frac{1}{x}} \cdot 5^{-\frac{1}{x}} - 2 \cdot 2^{-\frac{2}{x}} < 0$

$5 \cdot (5^{-\frac{1}{x}})^2 + 3 \cdot 2^{-\frac{1}{x}} \cdot 5^{-\frac{1}{x}} - 2 \cdot (2^{-\frac{1}{x}})^2 < 0$

Это однородное показательное неравенство. Разделим обе части на $(2^{-\frac{1}{x}})^2 = 4^{-\frac{1}{x}}$. Это выражение всегда положительно, поэтому знак неравенства не изменится.

$5 \cdot \frac{(5^{-\frac{1}{x}})^2}{(2^{-\frac{1}{x}})^2} + 3 \cdot \frac{2^{-\frac{1}{x}} \cdot 5^{-\frac{1}{x}}}{(2^{-\frac{1}{x}})^2} - 2 < 0$

$5 \cdot ((\frac{5}{2})^{-\frac{1}{x}})^2 + 3 \cdot (\frac{5}{2})^{-\frac{1}{x}} - 2 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{5}{2})^{-\frac{1}{x}}$. Условие $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$5t^2 + 3t - 2 < 0$

Найдем корни уравнения $5t^2 + 3t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$.

Корни: $t_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$, $t_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Парабола $y = 5t^2 + 3t - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $5t^2 + 3t - 2 < 0$ выполняется при $-1 < t < \frac{2}{5}$.

Учитывая, что $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{2}{5}$.

Вернемся к переменной $x$:

$0 < (\frac{5}{2})^{-\frac{1}{x}} < \frac{2}{5}$.

Левая часть неравенства выполняется всегда. Решаем правую часть:

$(\frac{5}{2})^{-\frac{1}{x}} < \frac{2}{5}$

$(\frac{5}{2})^{-\frac{1}{x}} < (\frac{5}{2})^{-1}$

Основание степени $\frac{5}{2} > 1$, поэтому при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

$-\frac{1}{x} < -1$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{1}{x} > 1$

$\frac{1}{x} - 1 > 0$

$\frac{1 - x}{x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=0$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, \infty)$. Проверяя знак выражения $\frac{1-x}{x}$ в каждом интервале, находим, что оно положительно при $x \in (0, 1)$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$).

Ответ: $(0, 1)$.

23. Найдите:

1) $\log_{2} 8$;

2) $\log_{13} \frac{1}{13}$;

3) $\log_{14} 1$;

4) $\log_{20} 20$;

5) $\log_{5} 0,04$;

6) $\log_{81} 3$;

7) $\lg 0,001$;

8) $\log_{36} 216$;

9) $\log_{0,2} 625$.

1) $\log_2 8$;

По определению логарифма, нужно найти такую степень $x$, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить число 8. То есть, $2^x = 8$. Мы знаем, что $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$. Таким образом, $2^x = 2^3$, откуда следует, что $x=3$.

Ответ: 3

2) $\log_{13} \frac{1}{13}$;

Нужно найти такую степень $x$, что $13^x = \frac{1}{13}$. По свойству степеней с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы можем записать $\frac{1}{13}$ как $13^{-1}$. Тогда уравнение принимает вид $13^x = 13^{-1}$, откуда $x=-1$.

Ответ: -1

3) $\log_{14} 1$;

Нужно найти такую степень $x$, что $14^x = 1$. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Следовательно, $x=0$.

Ответ: 0

4) $\log_{20} 20$;

Нужно найти такую степень $x$, что $20^x = 20$. Любое число в первой степени равно самому себе, то есть $20^1 = 20$. Следовательно, $x=1$.

Ответ: 1

5) $\log_5 0,04$;

Сначала преобразуем десятичную дробь 0,04 в обыкновенную: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$. Теперь нам нужно найти $x$ из уравнения $5^x = \frac{1}{25}$. Так как $25 = 5^2$, то $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$. Получаем уравнение $5^x = 5^{-2}$, откуда $x=-2$.

Ответ: -2

6) $\log_{81} 3$;

Нужно найти такую степень $x$, что $81^x = 3$. Представим основание 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$. Подставим это в уравнение: $(3^4)^x = 3$. По свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $3^{4x} = 3^1$. Приравнивая показатели степеней, имеем $4x = 1$, откуда $x=\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

7) $\lg 0,001$;

Запись $\lg$ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg 0,001 = \log_{10} 0,001$. Нужно найти $x$ из уравнения $10^x = 0,001$. Представим 0,001 в виде степени 10: $0,001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$. Тогда $10^x = 10^{-3}$, откуда $x=-3$.

Ответ: -3

8) $\log_{36} 216$;

Нужно найти $x$ из уравнения $36^x = 216$. Представим и основание, и число под логарифмом как степени одного и того же числа. Оба числа являются степенями 6: $36 = 6^2$ и $216 = 6^3$. Подставляем в уравнение: $(6^2)^x = 6^3$. Это равносильно $6^{2x} = 6^3$. Приравнивая показатели, получаем $2x=3$, откуда $x = \frac{3}{2}$ или $1,5$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

9) $\log_{0,2} 625$.

Нужно найти $x$ из уравнения $(0,2)^x = 625$. Представим основание 0,2 в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Тогда уравнение примет вид $(\frac{1}{5})^x = 625$. Запишем $\frac{1}{5}$ как $5^{-1}$ и 625 как степень 5: $625 = 5^4$. Получаем уравнение $(5^{-1})^x = 5^4$, что равносильно $5^{-x} = 5^4$. Приравнивая показатели степеней, имеем $-x=4$, откуда $x=-4$.

Ответ: -4

24. Найдите значение выражения:

1) $log_{1/3} log_2 512;$

2) $log_9 \cot \frac{\pi}{6};$

3) $log_2 32 - log_{21} \sqrt{21} - 3log_4 \frac{1}{64};$

4) $log_{18} 36 + log_{18} 9;$

5) $log_5 250 - log_5 2;$

6) $\frac{lg 27}{lg 3};$

7) $log_{64} \sqrt[3]{2};$

8) $10^{2lg 7};$

9) $27^{1-log_3 4};$

10) $5^{\frac{4}{log_3 5}}.$

1) $\log_{\frac{1}{3}} \log_2 512$

Сначала найдем значение внутреннего логарифма $\log_2 512$.
Поскольку $512 = 2^9$, то $\log_2 512 = \log_2 2^9 = 9$.
Теперь исходное выражение принимает вид $\log_{\frac{1}{3}} 9$.
Представим основание и аргумент логарифма в виде степени числа 3:
$\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $9 = 3^2$.
Используем свойство логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:
$\log_{\frac{1}{3}} 9 = \log_{3^{-1}} 3^2 = \frac{2}{-1} \log_3 3 = -2 \cdot 1 = -2$.
Ответ: -2

2) $\log_9 \ctg \frac{\pi}{6}$

Сначала найдем значение $\ctg \frac{\pi}{6}$.
Угол $\frac{\pi}{6}$ радиан равен $30^\circ$.
$\ctg \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.
Теперь выражение принимает вид $\log_9 \sqrt{3}$.
Представим основание и аргумент логарифма в виде степени числа 3:
$9 = 3^2$ и $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Используем свойство логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:
$\log_9 \sqrt{3} = \log_{3^2} 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1/2}{2} \log_3 3 = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

3) $\log_2 32 - \log_{21} \sqrt{21} - 3\log_4 \frac{1}{64}$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:
1) $\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$.
2) $\log_{21} \sqrt{21} = \log_{21} 21^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.
3) $3\log_4 \frac{1}{64} = 3\log_4 4^{-3} = 3 \cdot (-3) = -9$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$5 - \frac{1}{2} - (-9) = 5 - 0.5 + 9 = 13.5$.
Ответ: 13.5

4) $\log_{18} 36 + \log_{18} 9$

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.
$\log_{18} 36 + \log_{18} 9 = \log_{18} (36 \cdot 9) = \log_{18} 324$.
Поскольку $18^2 = 324$, то $\log_{18} 324 = \log_{18} 18^2 = 2$.
Ответ: 2

5) $\log_5 250 - \log_5 2$

Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.
$\log_5 250 - \log_5 2 = \log_5 (\frac{250}{2}) = \log_5 125$.
Поскольку $125 = 5^3$, то $\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$.
Ответ: 3

6) $\frac{\lg 27}{\lg 3}$

Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. В данном случае мы можем перейти от основания 10 к основанию 3.
$\frac{\lg 27}{\lg 3} = \frac{\log_{10} 27}{\log_{10} 3} = \log_3 27$.
Поскольку $27 = 3^3$, то $\log_3 27 = 3$.
Альтернативный способ: $\lg 27 = \lg (3^3) = 3 \lg 3$. Тогда $\frac{\lg 27}{\lg 3} = \frac{3 \lg 3}{\lg 3} = 3$.
Ответ: 3

7) $\log_{64} \sqrt[3]{2}$

Представим основание и аргумент логарифма в виде степени числа 2:
$64 = 2^6$ и $\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$.
Используем свойство логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:
$\log_{64} \sqrt[3]{2} = \log_{2^6} 2^{\frac{1}{3}} = \frac{1/3}{6} \log_2 2 = \frac{1}{18} \cdot 1 = \frac{1}{18}$.
Ответ: $\frac{1}{18}$

8) $10^{2\lg 7}$

Используем свойство степени логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$:
$2\lg 7 = \lg 7^2 = \lg 49$.
Теперь выражение принимает вид $10^{\lg 49}$.
Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Так как $\lg$ — это логарифм по основанию 10:
$10^{\lg 49} = 10^{\log_{10} 49} = 49$.
Ответ: 49

9) $27^{1-\log_3 4}$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$27^{1-\log_3 4} = \frac{27^1}{27^{\log_3 4}}$.
Упростим знаменатель. Представим 27 как $3^3$:
$27^{\log_3 4} = (3^3)^{\log_3 4} = 3^{3 \cdot \log_3 4}$.
Используем свойство $n \log_a b = \log_a b^n$:
$3^{3 \log_3 4} = 3^{\log_3 4^3} = 3^{\log_3 64}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 64} = 64$.
Тогда исходное выражение равно $\frac{27}{64}$.
Ответ: $\frac{27}{64}$

10) $5^{\frac{4}{\log_3 5}}$

Преобразуем показатель степени. Используем свойство логарифма $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$:
$\frac{4}{\log_3 5} = 4 \cdot \frac{1}{\log_3 5} = 4 \cdot \log_5 3$.
Теперь выражение принимает вид $5^{4 \log_5 3}$.
Используем свойство $n \log_a b = \log_a b^n$:
$5^{4 \log_5 3} = 5^{\log_5 3^4} = 5^{\log_5 81}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 81} = 81$.
Ответ: 81