Номер 19, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Решите неравенство:

1) $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} \le 5$;

2) $0,5^{x-1} + 0,5^{x+1} \ge 80$.

1) $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} \le 5$

Для решения данного показательного неравенства преобразуем его левую часть, используя свойства степеней. Вынесем за скобки общий множитель $2^{x-1}$ (как степень с наименьшим показателем):

$2^{x-1} \cdot 2^3 - 2^{x-1} \cdot 2^2 + 2^{x-1} \cdot 1 \le 5$

Вынесем $2^{x-1}$ за скобки:

$2^{x-1} (2^3 - 2^2 + 1) \le 5$

Вычислим значение выражения в скобках:

$2^{x-1} (8 - 4 + 1) \le 5$

$2^{x-1} \cdot 5 \le 5$

Разделим обе части неравенства на 5 (так как 5 > 0, знак неравенства не меняется):

$2^{x-1} \le 1$

Представим 1 как степень с основанием 2:

$2^{x-1} \le 2^0$

Так как основание степени $a=2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x - 1 \le 0$

$x \le 1$

Ответ: $(-\infty; 1]$.

2) $0,5^{x-1} + 0,5^{x+1} \ge 80$

Представим десятичную дробь $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$ и преобразуем левую часть неравенства. Вынесем за скобки общий множитель $(\frac{1}{2})^{x-1}$:

$(\frac{1}{2})^{x-1} + (\frac{1}{2})^{x-1} \cdot (\frac{1}{2})^2 \ge 80$

Вынесем $(\frac{1}{2})^{x-1}$ за скобки:

$(\frac{1}{2})^{x-1} (1 + (\frac{1}{2})^2) \ge 80$

Вычислим значение выражения в скобках:

$(\frac{1}{2})^{x-1} (1 + \frac{1}{4}) \ge 80$

$(\frac{1}{2})^{x-1} \cdot \frac{5}{4} \ge 80$

Разделим обе части неравенства на $\frac{5}{4}$ (умножим на $\frac{4}{5}$):

$(\frac{1}{2})^{x-1} \ge 80 \cdot \frac{4}{5}$

$(\frac{1}{2})^{x-1} \ge 16 \cdot 4$

$(\frac{1}{2})^{x-1} \ge 64$

Представим обе части неравенства в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$. Для этого заметим, что $64 = 2^6 = (\frac{1}{2})^{-6}$.

$(\frac{1}{2})^{x-1} \ge (\frac{1}{2})^{-6}$

Так как основание степени $a=\frac{1}{2}$, где $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{2})^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 1 \le -6$

$x \le -6 + 1$

$x \le -5$

Ответ: $(-\infty; -5]$.