Номер 25, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. Решите уравнение:

1) $\log_2 x = 4$;

2) $\log_{\sqrt[3]{3}} x = 9$;

3) $\log_8 x = 1$;

4) $\log_x 8 = 3$;

5) $\log_{x-1} 25 = 2$;

6) $\log_x 36 = \frac{2}{3}$.

1) По определению логарифма, если $\log_{a} b = c$, то это эквивалентно равенству $a^c = b$.

Применяя это определение к уравнению $\log_{2} x = 4$, получаем:

$x = 2^4$

$x = 16$

Ответ: $16$

2) Используя определение логарифма $\log_{a} b = c \iff a^c = b$ для уравнения $\log_{\sqrt[3]{3}} x = 9$, имеем:

$x = (\sqrt[3]{3})^9$

Так как $\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}$, то уравнение можно переписать в виде:

$x = (3^{1/3})^9 = 3^{\frac{1}{3} \cdot 9} = 3^3$

$x = 27$

Ответ: $27$

3) Согласно определению логарифма, из уравнения $\log_{8} x = 1$ следует, что:

$x = 8^1$

$x = 8$

Ответ: $8$

4) По определению логарифма, уравнение $\log_{x} 8 = 3$ эквивалентно показательному уравнению:

$x^3 = 8$

Поскольку $8 = 2^3$, получаем:

$x^3 = 2^3$

Отсюда следует, что $x=2$.

Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице. $x=2$ удовлетворяет этим условиям ($2 > 0$ и $2 \neq 1$).

Ответ: $2$

5) Перейдем от логарифмического уравнения к показательному, используя определение логарифма:

$(x-1)^2 = 25$

Это уравнение имеет два возможных решения для выражения в скобках:

$x-1 = 5$ или $x-1 = -5$

Решая первое уравнение, получаем $x = 6$.

Решая второе уравнение, получаем $x = -4$.

Проверим область допустимых значений. Основание логарифма $x-1$ должно быть положительным и не равняться единице:

1. $x-1 > 0 \implies x > 1$

2. $x-1 \neq 1 \implies x \neq 2$

Корень $x=6$ удовлетворяет обоим условиям.

Корень $x=-4$ не удовлетворяет условию $x > 1$, поэтому является посторонним.

Ответ: $6$

6) По определению логарифма, уравнение $\log_{x} 36 = \frac{2}{3}$ равносильно уравнению:

$x^{2/3} = 36$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$:

$(x^{2/3})^{3/2} = 36^{3/2}$

$x = (\sqrt{36})^3$

$x = 6^3$

$x = 216$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень области определения логарифма: основание $x$ должно быть больше 0 и не равно 1. $x=216$ удовлетворяет этим условиям.

Ответ: $216$