Номер 23, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

23. Найдите:

1) $\log_{2} 8$;

2) $\log_{13} \frac{1}{13}$;

3) $\log_{14} 1$;

4) $\log_{20} 20$;

5) $\log_{5} 0,04$;

6) $\log_{81} 3$;

7) $\lg 0,001$;

8) $\log_{36} 216$;

9) $\log_{0,2} 625$.

1) $\log_2 8$;

По определению логарифма, нужно найти такую степень $x$, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить число 8. То есть, $2^x = 8$. Мы знаем, что $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$. Таким образом, $2^x = 2^3$, откуда следует, что $x=3$.

Ответ: 3

2) $\log_{13} \frac{1}{13}$;

Нужно найти такую степень $x$, что $13^x = \frac{1}{13}$. По свойству степеней с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы можем записать $\frac{1}{13}$ как $13^{-1}$. Тогда уравнение принимает вид $13^x = 13^{-1}$, откуда $x=-1$.

Ответ: -1

3) $\log_{14} 1$;

Нужно найти такую степень $x$, что $14^x = 1$. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Следовательно, $x=0$.

Ответ: 0

4) $\log_{20} 20$;

Нужно найти такую степень $x$, что $20^x = 20$. Любое число в первой степени равно самому себе, то есть $20^1 = 20$. Следовательно, $x=1$.

Ответ: 1

5) $\log_5 0,04$;

Сначала преобразуем десятичную дробь 0,04 в обыкновенную: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$. Теперь нам нужно найти $x$ из уравнения $5^x = \frac{1}{25}$. Так как $25 = 5^2$, то $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$. Получаем уравнение $5^x = 5^{-2}$, откуда $x=-2$.

Ответ: -2

6) $\log_{81} 3$;

Нужно найти такую степень $x$, что $81^x = 3$. Представим основание 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$. Подставим это в уравнение: $(3^4)^x = 3$. По свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $3^{4x} = 3^1$. Приравнивая показатели степеней, имеем $4x = 1$, откуда $x=\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

7) $\lg 0,001$;

Запись $\lg$ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg 0,001 = \log_{10} 0,001$. Нужно найти $x$ из уравнения $10^x = 0,001$. Представим 0,001 в виде степени 10: $0,001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$. Тогда $10^x = 10^{-3}$, откуда $x=-3$.

Ответ: -3

8) $\log_{36} 216$;

Нужно найти $x$ из уравнения $36^x = 216$. Представим и основание, и число под логарифмом как степени одного и того же числа. Оба числа являются степенями 6: $36 = 6^2$ и $216 = 6^3$. Подставляем в уравнение: $(6^2)^x = 6^3$. Это равносильно $6^{2x} = 6^3$. Приравнивая показатели, получаем $2x=3$, откуда $x = \frac{3}{2}$ или $1,5$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

9) $\log_{0,2} 625$.

Нужно найти $x$ из уравнения $(0,2)^x = 625$. Представим основание 0,2 в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Тогда уравнение примет вид $(\frac{1}{5})^x = 625$. Запишем $\frac{1}{5}$ как $5^{-1}$ и 625 как степень 5: $625 = 5^4$. Получаем уравнение $(5^{-1})^x = 5^4$, что равносильно $5^{-x} = 5^4$. Приравнивая показатели степеней, имеем $-x=4$, откуда $x=-4$.

Ответ: -4