Номер 18, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. Решите неравенство:

1) $4^x > \frac{1}{64}$;

2) $(\frac{1}{3})^x \le \frac{1}{81}$;

3) $(\frac{5}{6})^{x^2} \ge (\frac{6}{5})^{4x-5}$;

4) $0,6^{\frac{x^2-7x+12}{x}} \le 1$;

5) $8 \cdot 2^{x^2-8x} > 0,25^{2x}$;

6) $0,4^{\frac{x^2-4}{x}} \le \frac{125}{8}$;

7) $0,2^{x-2} \le 5 \cdot (\frac{1}{25})^{\frac{1}{x}}$;

8) $(\frac{\pi}{3})^{1+\frac{4}{x-2}} \le (\frac{\pi}{3})^{\frac{4}{x-4}}$.

1)

Приведем обе части неравенства $4^x > \frac{1}{64}$ к одному основанию 4.
Так как $64 = 4^3$, то $\frac{1}{64} = \frac{1}{4^3} = 4^{-3}$.
Получаем неравенство: $4^x > 4^{-3}$.
Поскольку основание степени $4 > 1$, функция $y=4^t$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x > -3$.

Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.

2)

Приведем обе части неравенства $(\frac{1}{3})^x \le \frac{1}{81}$ к одному основанию $\frac{1}{3}$.
Так как $81 = 3^4$, то $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = (\frac{1}{3})^4$.
Получаем неравенство: $(\frac{1}{3})^x \le (\frac{1}{3})^4$.
Поскольку основание степени $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $y=(\frac{1}{3})^t$ является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x \ge 4$.

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

3)

Приведем обе части неравенства $(\frac{5}{6})^{x^2} \ge (\frac{6}{5})^{4x-5}$ к одному основанию $\frac{5}{6}$.
Так как $\frac{6}{5} = (\frac{5}{6})^{-1}$, то неравенство можно переписать в виде:
$(\frac{5}{6})^{x^2} \ge ((\frac{5}{6})^{-1})^{4x-5}$
$(\frac{5}{6})^{x^2} \ge (\frac{5}{6})^{-(4x-5)}$
$(\frac{5}{6})^{x^2} \ge (\frac{5}{6})^{5-4x}$.
Поскольку основание $0 < \frac{5}{6} < 1$, функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 \le 5-4x$
$x^2 + 4x - 5 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = -5$.
Ветви параболы $y=x^2 + 4x - 5$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 4x - 5 \le 0$ выполняется между корнями (включая корни).
$-5 \le x \le 1$.

Ответ: $[-5; 1]$.

4)

Представим правую часть неравенства $0.6^{\frac{x^2-7x+12}{x}} \le 1$ в виде степени с основанием 0,6: $1 = 0.6^0$.
$0.6^{\frac{x^2-7x+12}{x}} \le 0.6^0$.
Поскольку основание $0 < 0.6 < 1$, функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{x^2-7x+12}{x} \ge 0$.
Найдем нули числителя: $x^2-7x+12 = 0$. Корни $x_1=3$, $x_2=4$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x-3)(x-4)}{x} \ge 0$.
Решим методом интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя (3, 4) и нуль знаменателя (0). Точка 0 выколотая.
Интервалы знакопостоянства: $(-\infty; 0)$, $(0; 3]$, $[3; 4]$, $[4; +\infty)$.
- При $x > 4$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
- При $3 \le x < 4$: $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$.
- При $0 < x \le 3$: $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$.
- При $x < 0$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.
Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $(0; 3] \cup [4; +\infty)$.

5)

Приведем все части неравенства $8 \cdot 2^{x^2-8x} > 0.25^{2x}$ к основанию 2.
$8=2^3$; $0.25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$.
$2^3 \cdot 2^{x^2-8x} > (2^{-2})^{2x}$
$2^{3+x^2-8x} > 2^{-4x}$.
Поскольку основание $2 > 1$, функция является возрастающей, знак неравенства сохраняется:
$x^2-8x+3 > -4x$
$x^2-4x+3 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2-4x+3 = 0$. Корни $x_1=1$, $x_2=3$.
Ветви параболы $y=x^2-4x+3$ направлены вверх, поэтому неравенство $>0$ выполняется вне интервала между корнями.
$x < 1$ или $x > 3$.

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

6)

Приведем обе части неравенства $0.4^{\frac{x^2-4}{x}} \le \frac{125}{8}$ к одному основанию. $0.4 = \frac{2}{5}$; $\frac{125}{8} = \frac{5^3}{2^3} = (\frac{5}{2})^3 = ((\frac{2}{5})^{-1})^3 = (\frac{2}{5})^{-3}$.
Неравенство принимает вид:
$(\frac{2}{5})^{\frac{x^2-4}{x}} \le (\frac{2}{5})^{-3}$.
Поскольку основание $0 < \frac{2}{5} < 1$, функция является убывающей, знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{x^2-4}{x} \ge -3$
$\frac{x^2-4}{x} + 3 \ge 0$
$\frac{x^2-4+3x}{x} \ge 0$
$\frac{x^2+3x-4}{x} \ge 0$.
Найдем нули числителя $x^2+3x-4=0$. Корни $x_1=1$, $x_2=-4$.
Неравенство: $\frac{(x+4)(x-1)}{x} \ge 0$.
Решаем методом интервалов. Критические точки: -4, 0, 1. Решение неравенства: $x \in [-4; 0) \cup [1; +\infty)$.

Ответ: $[-4; 0) \cup [1; +\infty)$.

7)

Приведем все части неравенства $0.2^{x-2} \le 5 \cdot (\frac{1}{25})^{\frac{1}{x}}$ к основанию 5.
$0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$; $\frac{1}{25} = 5^{-2}$.
$(5^{-1})^{x-2} \le 5^1 \cdot (5^{-2})^{\frac{1}{x}}$
$5^{-(x-2)} \le 5^1 \cdot 5^{-\frac{2}{x}}$
$5^{2-x} \le 5^{1-\frac{2}{x}}$.
Область допустимых значений: $x \ne 0$.
Поскольку основание $5 > 1$, функция является возрастающей, знак неравенства сохраняется:
$2-x \le 1-\frac{2}{x}$
$1-x+\frac{2}{x} \le 0$
$\frac{x-x^2+2}{x} \le 0$
$\frac{x^2-x-2}{x} \ge 0$.
Нули числителя $x^2-x-2=0$: $x_1=2$, $x_2=-1$.
Неравенство: $\frac{(x+1)(x-2)}{x} \ge 0$.
Решаем методом интервалов. Критические точки: -1, 0, 2. Решение неравенства: $x \in [-1; 0) \cup [2; +\infty)$.

Ответ: $[-1; 0) \cup [2; +\infty)$.

8)

В неравенстве $(\frac{\pi}{3})^{1+\frac{4}{x-2}} \le (\frac{\pi}{3})^{\frac{4}{x-4}}$ основание степени $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14}{3} > 1$.
Следовательно, функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей сохраняется:
$1+\frac{4}{x-2} \le \frac{4}{x-4}$.
Область допустимых значений: $x \ne 2$, $x \ne 4$.
$1+\frac{4}{x-2} - \frac{4}{x-4} \le 0$
$\frac{(x-2)(x-4) + 4(x-4) - 4(x-2)}{(x-2)(x-4)} \le 0$
$\frac{x^2 - 6x + 8 + 4x - 16 - 4x + 8}{(x-2)(x-4)} \le 0$
$\frac{x^2 - 6x}{(x-2)(x-4)} \le 0$
$\frac{x(x-6)}{(x-2)(x-4)} \le 0$.
Решаем методом интервалов. Критические точки: 0, 2, 4, 6.
Точки $x=0$ и $x=6$ являются решениями, точки $x=2$ и $x=4$ выколоты.
Интервалы, где выражение $\le 0$: $[0; 2)$ и $(4; 6]$.

Ответ: $[0; 2) \cup (4; 6]$.