Номер 11, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. Решите уравнение:

1) $4^{x+1} + 4^x = 320$;

2) $3^{x+2} + 4 \cdot 3^{x-1} = 279$;

3) $2 \cdot 7^{x+1} - 6 \cdot 7^{x-1} - 7^x = 85$;

4) $2 \cdot 16^x - 3 \cdot 2^{4x-1} + 7 \cdot 4^{2x-2} = 120$;

5) $6^x - 5 \cdot 6^{x-1} - 25 \cdot 6^{x-3} = 11^{x-1} - 9 \cdot 11^{x-2} - 16 \cdot 11^{x-3}$;

6) $3 \cdot 4^x + \frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}$.

1)Исходное уравнение: $4^{x+1} + 4^x = 320$.
Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$4^x \cdot 4^1 + 4^x = 320$.
Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:
$4^x (4 + 1) = 320$.
$5 \cdot 4^x = 320$.
Разделим обе части на 5:
$4^x = \frac{320}{5}$.
$4^x = 64$.
Представим 64 как степень числа 4:
$64 = 4^3$.
$4^x = 4^3$.
Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:
$x = 3$.
Ответ: $x=3$.

2)Исходное уравнение: $3^{x+2} + 4 \cdot 3^{x-1} = 279$.
Приведем все степени к одному показателю, например, $x-1$:
$3^{x+2} = 3^{(x-1)+3} = 3^{x-1} \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^{x-1}$.
Подставим в уравнение:
$27 \cdot 3^{x-1} + 4 \cdot 3^{x-1} = 279$.
Вынесем общий множитель $3^{x-1}$ за скобки:
$3^{x-1} (27 + 4) = 279$.
$31 \cdot 3^{x-1} = 279$.
Разделим обе части на 31:
$3^{x-1} = \frac{279}{31}$.
$3^{x-1} = 9$.
Представим 9 как степень числа 3:
$3^{x-1} = 3^2$.
Приравниваем показатели:
$x - 1 = 2$.
$x = 3$.
Ответ: $x=3$.

3)Исходное уравнение: $2 \cdot 7^{x+1} - 6 \cdot 7^{x-1} - 7^x = 85$.
Приведем все степени к одному показателю, например, $x-1$:
$7^{x+1} = 7^{(x-1)+2} = 7^{x-1} \cdot 7^2 = 49 \cdot 7^{x-1}$.
$7^x = 7^{(x-1)+1} = 7^{x-1} \cdot 7^1 = 7 \cdot 7^{x-1}$.
Подставим в уравнение:
$2 \cdot (49 \cdot 7^{x-1}) - 6 \cdot 7^{x-1} - 7 \cdot 7^{x-1} = 85$.
Вынесем общий множитель $7^{x-1}$ за скобки:
$7^{x-1} (2 \cdot 49 - 6 - 7) = 85$.
$7^{x-1} (98 - 13) = 85$.
$85 \cdot 7^{x-1} = 85$.
$7^{x-1} = 1$.
Представим 1 как степень числа 7:
$7^{x-1} = 7^0$.
Приравниваем показатели:
$x - 1 = 0$.
$x = 1$.
Ответ: $x=1$.

4)Исходное уравнение: $2 \cdot 16^x - 3 \cdot 2^{4x-1} + 7 \cdot 4^{2x-2} = 120$.
Приведем все степени к одному основанию 2:
$16^x = (2^4)^x = 2^{4x}$.
$4^{2x-2} = (2^2)^{2x-2} = 2^{2(2x-2)} = 2^{4x-4}$.
Подставим в уравнение:
$2 \cdot 2^{4x} - 3 \cdot 2^{4x-1} + 7 \cdot 2^{4x-4} = 120$.
Вынесем за скобки множитель с наименьшим показателем $2^{4x-4}$:
$2^{4x-4} (2 \cdot 2^4 - 3 \cdot 2^3 + 7 \cdot 2^0) = 120$.
$2^{4x-4} (2 \cdot 16 - 3 \cdot 8 + 7 \cdot 1) = 120$.
$2^{4x-4} (32 - 24 + 7) = 120$.
$2^{4x-4} (15) = 120$.
$2^{4x-4} = \frac{120}{15}$.
$2^{4x-4} = 8$.
Представим 8 как степень числа 2:
$2^{4x-4} = 2^3$.
Приравниваем показатели:
$4x - 4 = 3$.
$4x = 7$.
$x = \frac{7}{4}$.
Ответ: $x=\frac{7}{4}$.

5)Исходное уравнение: $6^x - 5 \cdot 6^{x-1} - 25 \cdot 6^{x-3} = 11^{x-1} - 9 \cdot 11^{x-2} - 16 \cdot 11^{x-3}$.
Упростим левую часть, вынеся за скобки $6^{x-3}$:
$6^{x-3}(6^3 - 5 \cdot 6^2 - 25) = 6^{x-3}(216 - 5 \cdot 36 - 25) = 6^{x-3}(216 - 180 - 25) = 11 \cdot 6^{x-3}$.
Упростим правую часть, вынеся за скобки $11^{x-3}$:
$11^{x-3}(11^2 - 9 \cdot 11^1 - 16) = 11^{x-3}(121 - 99 - 16) = 11^{x-3}(22 - 16) = 6 \cdot 11^{x-3}$.
Получаем уравнение:
$11 \cdot 6^{x-3} = 6 \cdot 11^{x-3}$.
Разделим обе части уравнения на $11^{x-3}$ и на 11 (эти выражения не равны нулю):
$\frac{6^{x-3}}{11^{x-3}} = \frac{6}{11}$.
$(\frac{6}{11})^{x-3} = (\frac{6}{11})^1$.
Приравниваем показатели:
$x - 3 = 1$.
$x = 4$.
Ответ: $x=4$.

6)Исходное уравнение: $3 \cdot 4^x + \frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}$.
Сгруппируем слагаемые с основанием 9 в левой части, а с основанием 4 — в правой:
$\frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} + \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1} = 6 \cdot 4^{x+1} - 3 \cdot 4^x$.
Упростим левую часть:
$\frac{1}{3} \cdot 9^{x+1} \cdot 9^1 + \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1} = 3 \cdot 9^{x+1} + \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1} = (3 + \frac{1}{2}) \cdot 9^{x+1} = \frac{7}{2} \cdot 9^{x+1}$.
Упростим правую часть:
$6 \cdot 4^x \cdot 4^1 - 3 \cdot 4^x = 24 \cdot 4^x - 3 \cdot 4^x = (24-3) \cdot 4^x = 21 \cdot 4^x$.
Получаем уравнение:
$\frac{7}{2} \cdot 9^{x+1} = 21 \cdot 4^x$.
$\frac{7}{2} \cdot 9^x \cdot 9 = 21 \cdot 4^x$.
$\frac{63}{2} \cdot 9^x = 21 \cdot 4^x$.
Разделим обе части на $4^x$ (не равно нулю) и на $\frac{63}{2}$:
$\frac{9^x}{4^x} = 21 \cdot \frac{2}{63}$.
$(\frac{9}{4})^x = \frac{42}{63}$.
Сократим дробь в правой части: $\frac{42}{63} = \frac{2 \cdot 21}{3 \cdot 21} = \frac{2}{3}$.
$(\frac{3^2}{2^2})^x = \frac{2}{3}$.
$((\frac{3}{2})^2)^x = \frac{2}{3}$.
$(\frac{3}{2})^{2x} = (\frac{3}{2})^{-1}$.
Приравниваем показатели:
$2x = -1$.
$x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x=-\frac{1}{2}$.