Номер 8, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Постройте график функции:

1) $y = 2^x + 1$;

2) $y = 2^{x-2}$;

3) $y = 3 - 2^x$;

4) $y = |2^x - 3|$.

1) $y = 2^x + 1$

График функции $y = 2^x + 1$ получается из графика базовой показательной функции $y = 2^x$ путем сдвига (параллельного переноса) всего графика на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси Oy).

Построим график по шагам:
1. Базовая функция $y = 2^x$ проходит через точки, например, $(-1, 1/2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$. Ее горизонтальная асимптота - ось Ox ($y=0$).
2. Сдвигаем график $y = 2^x$ на 1 единицу вверх.
- Точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0, 1+1) = (0, 2)$. Это точка пересечения с осью Oy.
- Точка $(1, 2)$ переходит в точку $(1, 2+1) = (1, 3)$.
- Точка $(-1, 1/2)$ переходит в точку $(-1, 1/2+1) = (-1, 1.5)$.
3. Горизонтальная асимптота $y=0$ также сдвигается на 1 единицу вверх и становится прямой $y=1$.

График представляет собой возрастающую кривую, проходящую через точки $(-1, 1.5)$, $(0, 2)$, $(1, 3)$ и приближающуюся к прямой $y=1$ при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y=2^x+1$ - это график функции $y=2^x$, сдвинутый на 1 единицу вверх. Он имеет горизонтальную асимптоту $y=1$ и проходит через точку $(0, 2)$.

2) $y = 2^{x-2}$

График функции $y = 2^{x-2}$ получается из графика базовой функции $y = 2^x$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox).

Построим график по шагам:
1. Базовая функция $y = 2^x$ проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 2)$. Ее асимптота $y=0$.
2. Сдвигаем график $y = 2^x$ на 2 единицы вправо.
- Точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0+2, 1) = (2, 1)$.
- Точка $(1, 2)$ переходит в точку $(1+2, 2) = (3, 2)$.
- Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$: $y = 2^{0-2} = 2^{-2} = 1/4 = 0.25$. Точка пересечения с Oy - $(0, 0.25)$.
3. Горизонтальный сдвиг не влияет на горизонтальную асимптоту, поэтому она остается $y=0$.

График - это возрастающая кривая, проходящая через точки $(0, 0.25)$, $(2, 1)$, $(3, 2)$ и приближающаяся к оси Ox при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y=2^{x-2}$ - это график функции $y=2^x$, сдвинутый на 2 единицы вправо. Он имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ и проходит через точку $(2, 1)$.

3) $y = 3 - 2^x$

Для построения графика функции $y = 3 - 2^x$ (или $y = -2^x + 3$) выполним следующие преобразования с графиком базовой функции $y = 2^x$:
1. Отразим график $y = 2^x$ симметрично относительно оси Ox. Получим график функции $y = -2^x$.
2. Сдвинем полученный график $y = -2^x$ на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

Построим по точкам:
1. Возьмем точки на графике $y=2^x$: $(0, 1)$ и $(1, 2)$.
2. Отразим их относительно оси Ox: $(0, -1)$ и $(1, -2)$.
3. Сдвинем их на 3 вверх:
- Точка $(0, -1)$ переходит в $(0, -1+3) = (0, 2)$. Это точка пересечения с Oy.
- Точка $(1, -2)$ переходит в $(1, -2+3) = (1, 1)$.
4. Горизонтальная асимптота $y=0$ для $y=2^x$ после отражения не меняется, а после сдвига вверх на 3 становится прямой $y=3$.
5. Найдем точку пересечения с осью Ox, приравняв $y$ к нулю: $0 = 3 - 2^x \Rightarrow 2^x = 3 \Rightarrow x = \log_2 3 \approx 1.58$. Точка пересечения с Ox - $(\log_2 3, 0)$.

График представляет собой убывающую кривую, проходящую через точки $(\log_2 3, 0)$, $(0, 2)$, $(1, 1)$ и приближающуюся к прямой $y=3$ при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y=3-2^x$ - это график функции $y=2^x$, отраженный относительно оси Ox и сдвинутый на 3 единицы вверх. Он имеет горизонтальную асимптоту $y=3$ и проходит через точку $(0, 2)$.

4) $y = |2^x - 3|$

Для построения графика функции $y = |2^x - 3|$ сначала построим график функции, стоящей под знаком модуля: $g(x) = 2^x - 3$.

Шаг 1: Построение графика $g(x) = 2^x - 3$.
Этот график получается из графика $y=2^x$ сдвигом на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.
- Горизонтальная асимптота смещается с $y=0$ на $y=-3$.
- Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$, $g(0) = 2^0 - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(0, -2)$.
- Точка пересечения с осью Ox: при $g(x)=0$, $2^x - 3 = 0 \Rightarrow 2^x = 3 \Rightarrow x = \log_2 3$. Точка $(\log_2 3, 0)$.

Шаг 2: Применение модуля.
График функции $y = |g(x)|$ получается из графика $g(x)$ следующим образом:
- Часть графика $g(x)$, которая находится выше или на оси Ox (где $g(x) \ge 0$), остается без изменений. Это происходит при $x \ge \log_2 3$.
- Часть графика $g(x)$, которая находится ниже оси Ox (где $g(x) < 0$), отражается симметрично относительно оси Ox. Это происходит при $x < \log_2 3$.

Результат:
- При $x \ge \log_2 3$, график совпадает с $y = 2^x - 3$.
- При $x < \log_2 3$, график совпадает с $y = -(2^x - 3) = 3 - 2^x$.
- Точка $(\log_2 3, 0)$ является точкой излома графика.
- Точка пересечения с осью Oy: $y = |2^0 - 3| = |-2| = 2$. Точка $(0, 2)$.
- Горизонтальная асимптота для части графика при $x < \log_2 3$ (где $y=3-2^x$) будет $y=3$. При $x \to +\infty$ график уходит в бесконечность.

График имеет V-образную форму с изломом в точке $(\log_2 3, 0)$. Левая ветвь приближается к асимптоте $y=3$, а правая ветвь экспоненциально растет.

Ответ: Для построения графика $y=|2^x-3|$ нужно построить график $y=2^x-3$, а затем часть графика, лежащую под осью Ox, отразить симметрично относительно оси Ox. График имеет излом в точке $(\log_2 3, 0)$ и горизонтальную асимптоту $y=3$ при $x \to -\infty$.