Номер 5, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Сравните числа m и n, если:

1) $3,8^m < 3,8^n$;

2) $0,7^m < 0,7^n$;

3) $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^m > \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$.

Для решения этой задачи нужно использовать свойство монотонности показательной функции $y = a^x$. Поведение функции зависит от её основания $a$:

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства для показателей степеней сохраняется. Например, если $a^m < a^n$, то $m < n$.
• Если $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный. Например, если $a^m < a^n$, то $m > n$.

1) $3,8^m < 3,8^n$

В данном неравенстве основание степени $a = 3,8$. Поскольку $3,8 > 1$, показательная функция с этим основанием является возрастающей. Следовательно, знак неравенства для показателей $m$ и $n$ сохраняется.
Из $3,8^m < 3,8^n$ следует, что $m < n$.
Ответ: $m < n$.

2) $0,7^m < 0,7^n$

В данном неравенстве основание степени $a = 0,7$. Поскольку $0 < 0,7 < 1$, показательная функция с этим основанием является убывающей. Следовательно, знак неравенства для показателей $m$ и $n$ меняется на противоположный.
Из $0,7^m < 0,7^n$ следует, что $m > n$.
Ответ: $m > n$.

3) ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^m > {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n$

В данном неравенстве основание степени $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Оценим значение этого основания. Мы знаем, что $1 < \sqrt{2} < 2$. Разделив это двойное неравенство на 2, получим $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$. Таким образом, основание $a$ находится в интервале $(0, 1)$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Следовательно, знак неравенства для показателей $m$ и $n$ меняется на противоположный.
Из ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^m > {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n$ следует, что $m < n$.
Ответ: $m < n$.