Номер 2, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Для упрощения выражения $(a^{\sqrt{3}} - 4)(a^{\sqrt{3}} + 4) - (a^{\sqrt{3}} - 3)^2$ воспользуемся формулами сокращенного умножения.

Первая часть, $(a^{\sqrt{3}} - 4)(a^{\sqrt{3}} + 4)$, является разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$(a^{\sqrt{3}} - 4)(a^{\sqrt{3}} + 4) = (a^{\sqrt{3}})^2 - 4^2 = a^{2\sqrt{3}} - 16$.

Вторая часть, $(a^{\sqrt{3}} - 3)^2$, является квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(a^{\sqrt{3}} - 3)^2 = (a^{\sqrt{3}})^2 - 2 \cdot a^{\sqrt{3}} \cdot 3 + 3^2 = a^{2\sqrt{3}} - 6a^{\sqrt{3}} + 9$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(a^{2\sqrt{3}} - 16) - (a^{2\sqrt{3}} - 6a^{\sqrt{3}} + 9)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^{2\sqrt{3}} - 16 - a^{2\sqrt{3}} + 6a^{\sqrt{3}} - 9 = (a^{2\sqrt{3}} - a^{2\sqrt{3}}) + 6a^{\sqrt{3}} + (-16 - 9) = 6a^{\sqrt{3}} - 25$.

Ответ: $6a^{\sqrt{3}} - 25$.

Рассмотрим дробь $\frac{a^{2\sqrt{5}} - 49}{a^{2\sqrt{5}} - 7a^{\sqrt{5}}}$.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $a^{2\sqrt{5}} - 49$ является разностью квадратов, так как $a^{2\sqrt{5}} = (a^{\sqrt{5}})^2$ и $49 = 7^2$.

$a^{2\sqrt{5}} - 49 = (a^{\sqrt{5}})^2 - 7^2 = (a^{\sqrt{5}} - 7)(a^{\sqrt{5}} + 7)$.

В знаменателе $a^{2\sqrt{5}} - 7a^{\sqrt{5}}$ вынесем общий множитель $a^{\sqrt{5}}$ за скобки.

$a^{2\sqrt{5}} - 7a^{\sqrt{5}} = a^{\sqrt{5}}(a^{\sqrt{5}} - 7)$.

Подставим разложенные части обратно в дробь:

$\frac{(a^{\sqrt{5}} - 7)(a^{\sqrt{5}} + 7)}{a^{\sqrt{5}}(a^{\sqrt{5}} - 7)}$.

Сократим общий множитель $(a^{\sqrt{5}} - 7)$ в числителе и знаменателе (при условии $a^{\sqrt{5}} \neq 7$ и $a \neq 0$).

Получим: $\frac{a^{\sqrt{5}} + 7}{a^{\sqrt{5}}}$.

Ответ: $\frac{a^{\sqrt{5}} + 7}{a^{\sqrt{5}}}$.