Номер 6, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Рассмотрим функцию $y = -7^x$. Область значений показательной функции $f(x) = a^x$ (где $a > 0$, $a \ne 1$) — это все положительные действительные числа. Таким образом, для функции $g(x) = 7^x$ область значений — это интервал $(0; +\infty)$. Это означает, что для любого действительного числа $x$, выполняется неравенство $7^x > 0$.
Умножим обе части этого неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-1 \cdot 7^x < -1 \cdot 0$
$-7^x < 0$
Следовательно, $y < 0$ для любого значения $x$. Таким образом, область значений данной функции — это все отрицательные числа.

Ответ: $(-\infty; 0)$

Рассмотрим функцию $y = 7^x + 3$. Как и в предыдущем пункте, мы знаем, что область значений функции $g(x) = 7^x$ — это $(0; +\infty)$. Это можно записать в виде неравенства: $7^x > 0$.
Данная функция $y$ получается из функции $g(x)$ прибавлением константы 3. Это соответствует сдвигу графика функции $g(x)$ на 3 единицы вверх. Чтобы найти новую область значений, прибавим 3 к обеим частям неравенства:
$7^x + 3 > 0 + 3$
$7^x + 3 > 3$
Значит, $y > 3$. Область значений функции — это все числа, которые больше 3.

Ответ: $(3; +\infty)$

Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{1}{7}\right)^x - 2$. Область значений показательной функции $g(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^x$ (основание $\frac{1}{7}$ положительно и не равно 1) — это интервал $(0; +\infty)$. Запишем это в виде неравенства: $\left(\frac{1}{7}\right)^x > 0$.
Функция $y$ получена из $g(x)$ вычитанием константы 2, что соответствует сдвигу графика на 2 единицы вниз. Чтобы найти новую область значений, вычтем 2 из обеих частей неравенства:
$\left(\frac{1}{7}\right)^x - 2 > 0 - 2$
$\left(\frac{1}{7}\right)^x - 2 > -2$
Следовательно, $y > -2$. Область значений функции — это все числа, которые больше -2.

Ответ: $(-2; +\infty)$

Рассмотрим функцию $y = 7^{|x|}$. Сначала проанализируем показатель степени. Модуль числа, $|x|$, может принимать любые неотрицательные значения. Область значений функции $g(x)=|x|$ — это промежуток $[0; +\infty)$. Это значит, что $|x| \ge 0$.
Так как основание степени $7 > 1$, функция $f(t) = 7^t$ является возрастающей. Её наименьшее значение будет достигаться при наименьшем значении показателя степени.
Наименьшее значение $|x|$ равно 0 (при $x=0$).
Тогда наименьшее значение функции $y$ будет:
$y_{min} = 7^0 = 1$.
Поскольку $|x|$ может принимать сколь угодно большие значения, то и $y = 7^{|x|}$ будет принимать сколь угодно большие значения.
Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные 1.

Ответ: $[1; +\infty)$