Номер 10, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

10. Решите уравнение:

1) $2^x = 128$;

2) $3^{5x+1} = 3^{2x}$;

3) $5^{x^2-5x-14} = 1$;

4) $4^x = 8$;

5) $\left(\frac{3}{2}\right)^{1-2x} = \left(\frac{8}{27}\right)^{x+3}$;

6) $(10^{x-5})^{x-6} = 100$;

7) $\left(\frac{4}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{35}{12}\right)^x = \frac{9}{49}$;

8) $3^{4x-x^2} = 17^{4x-x^2}$;

9) $4^x \cdot 5^{x-1} = 0.2 \cdot 20^{3-2x}$;

10) $\sqrt{27^{x-1}} = \sqrt[3]{9^{2-x}}$.

1) $2^x = 128$

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2. Поскольку $128 = 2^7$, уравнение принимает вид:

$2^x = 2^7$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = 7$

Ответ: 7

2) $3^{5x+1} = 3^{2x}$

В данном уравнении основания степеней в левой и правой частях уже равны (оба равны 3). Поэтому мы можем приравнять показатели степеней:

$5x + 1 = 2x$

Решим полученное линейное уравнение:

$5x - 2x = -1$

$3x = -1$

$x = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

3) $5^{x^2 - 5x - 14} = 1$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1. Представим 1 как $5^0$:

$5^{x^2 - 5x - 14} = 5^0$

Теперь, когда основания степеней равны, приравниваем показатели:

$x^2 - 5x - 14 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: -2; 7

4) $4^x = 8$

Чтобы решить это уравнение, приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$(2^2)^x = 2^3$

$2^{2x} = 2^3$

Приравниваем показатели степеней:

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: 1,5

5) $(\frac{3}{2})^{1-2x} = (\frac{8}{27})^{x+3}$

Приведем правую часть уравнения к основанию $\frac{3}{2}$.

$\frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} = (\frac{2}{3})^3$

Так как $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$, то $(\frac{2}{3})^3 = ((\frac{3}{2})^{-1})^3 = (\frac{3}{2})^{-3}$.

Теперь уравнение выглядит так:

$(\frac{3}{2})^{1-2x} = ((\frac{3}{2})^{-3})^{x+3}$

$(\frac{3}{2})^{1-2x} = (\frac{3}{2})^{-3(x+3)}$

Приравниваем показатели:

$1 - 2x = -3(x+3)$

$1 - 2x = -3x - 9$

$3x - 2x = -9 - 1$

$x = -10$

Ответ: -10

6) $(10^{x-5})^{x-6} = 100$

Упростим левую часть по свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и представим правую часть как степень 10:

$10^{(x-5)(x-6)} = 10^2$

Приравниваем показатели:

$(x-5)(x-6) = 2$

Раскроем скобки и решим квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - 5x + 30 = 2$

$x^2 - 11x + 28 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9$.

$x_1 = \frac{11 + \sqrt{9}}{2} = \frac{11 + 3}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{11 - \sqrt{9}}{2} = \frac{11 - 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Ответ: 4; 7

7) $(\frac{4}{5})^x \cdot (\frac{35}{12})^x = \frac{9}{49}$

Используем свойство степеней $a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$ для левой части:

$(\frac{4}{5} \cdot \frac{35}{12})^x = \frac{9}{49}$

Упростим выражение в скобках:

$(\frac{4 \cdot 35}{5 \cdot 12})^x = (\frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 3})^x = (\frac{7}{3})^x$

Теперь уравнение имеет вид:

$(\frac{7}{3})^x = \frac{9}{49}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{7}{3}$:

$\frac{9}{49} = \frac{3^2}{7^2} = (\frac{3}{7})^2 = ((\frac{7}{3})^{-1})^2 = (\frac{7}{3})^{-2}$

Получаем уравнение:

$(\frac{7}{3})^x = (\frac{7}{3})^{-2}$

Отсюда $x = -2$.

Ответ: -2

8) $3^{4x-x^2} = 17^{4x-x^2}$

Разделим обе части уравнения на $17^{4x-x^2}$ (это выражение всегда положительно и не равно нулю):

$\frac{3^{4x-x^2}}{17^{4x-x^2}} = 1$

$(\frac{3}{17})^{4x-x^2} = 1$

Равенство $a^y=1$ (где $a \ne 1$) выполняется только тогда, когда показатель степени $y=0$.

Следовательно, приравниваем показатель к нулю:

$4x - x^2 = 0$

$x(4 - x) = 0$

Это равенство верно, если $x=0$ или $4-x=0$, то есть $x=4$.

Ответ: 0; 4

9) $4^x \cdot 5^{x-1} = 0.2 \cdot 20^{3-2x}$

Приведем все степени к простым основаниям (2 и 5). Заметим, что $4=2^2$, $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, $20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.

$(2^2)^x \cdot 5^{x-1} = 5^{-1} \cdot (2^2 \cdot 5)^{3-2x}$

$2^{2x} \cdot 5^{x-1} = 5^{-1} \cdot (2^2)^{3-2x} \cdot 5^{3-2x}$

$2^{2x} \cdot 5^{x-1} = 5^{-1} \cdot 2^{6-4x} \cdot 5^{3-2x}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в правой части:

$2^{2x} \cdot 5^{x-1} = 2^{6-4x} \cdot 5^{-1 + 3 - 2x}$

$2^{2x} \cdot 5^{x-1} = 2^{6-4x} \cdot 5^{2-2x}$

Разделим обе части так, чтобы с одной стороны были степени с основанием 2, а с другой — с основанием 5:

$\frac{2^{2x}}{2^{6-4x}} = \frac{5^{2-2x}}{5^{x-1}}$

$2^{2x - (6-4x)} = 5^{2-2x - (x-1)}$

$2^{6x-6} = 5^{3-3x}$

Преобразуем показатели:

$2^{6(x-1)} = 5^{-3(x-1)}$

$(2^6)^{x-1} = (5^{-3})^{x-1}$

$64^{x-1} = (\frac{1}{125})^{x-1}$

Так как основания $64$ и $\frac{1}{125}$ не равны, равенство возможно только если показатель степени равен нулю.

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Ответ: 1

10) $\sqrt{27^{x-1}} = \sqrt[3]{9^{2-x}}$

Представим корни в виде степеней с дробными показателями:

$(27^{x-1})^{\frac{1}{2}} = (9^{2-x})^{\frac{1}{3}}$

Приведем основания 27 и 9 к общему основанию 3:

$27 = 3^3$, $9 = 3^2$.

$((3^3)^{x-1})^{\frac{1}{2}} = ((3^2)^{2-x})^{\frac{1}{3}}$

Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{3(x-1) \cdot \frac{1}{2}} = 3^{2(2-x) \cdot \frac{1}{3}}$

$3^{\frac{3(x-1)}{2}} = 3^{\frac{2(2-x)}{3}}$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{3(x-1)}{2} = \frac{2(2-x)}{3}$

Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от знаменателей:

$3 \cdot 3(x-1) = 2 \cdot 2(2-x)$

$9(x-1) = 4(2-x)$

$9x - 9 = 8 - 4x$

$9x + 4x = 8 + 9$

$13x = 17$

$x = \frac{17}{13}$

Ответ: $\frac{17}{13}$