Номер 4, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Сравните с числом 1 положительное число $a$, если:

1) $a^{\frac{3}{5}} > a^{\frac{4}{7}}$;

2) $a^{-\frac{2}{3}} < a^{\frac{1}{9}}$;

3) $a^{0.2} > 1$.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами степенной функции $y = a^x$ при $a > 0$.
Если основание степени $a > 1$, то функция является возрастающей, то есть большему значению показателя степени соответствует большее значение функции. Если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$.
Если основание степени $0 < a < 1$, то функция является убывающей, то есть большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции. Если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$.

1) Дано неравенство $a^{\frac{3}{5}} > a^{\frac{4}{7}}$.
Сравним показатели степеней: $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$. Приведем дроби к общему знаменателю $35$:
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}$
$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{20}{35}$
Так как $21 > 20$, то $\frac{21}{35} > \frac{20}{35}$, следовательно, $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$.
Мы видим, что большему показателю степени ($\frac{3}{5}$) соответствует большее значение степени ($a^{\frac{3}{5}}$). Это свойство возрастающей функции, что означает, что основание степени $a$ больше 1.
Ответ: $a > 1$.

2) Дано неравенство $a^{-\frac{2}{3}} < a^{\frac{1}{9}}$.
Сравним показатели степеней: $-\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{9}$.
Так как $-\frac{2}{3}$ — отрицательное число, а $\frac{1}{9}$ — положительное, то очевидно, что $-\frac{2}{3} < \frac{1}{9}$.
Мы видим, что меньшему показателю степени ($-\frac{2}{3}$) соответствует меньшее значение степени ($a^{-\frac{2}{3}}$). Это свойство возрастающей функции, что означает, что основание степени $a$ больше 1.
Ответ: $a > 1$.

3) Дано неравенство $a^{0,2} > 1$.
Поскольку по условию $a$ — положительное число, мы можем представить $1$ как $a^0$.
Тогда неравенство примет вид: $a^{0,2} > a^0$.
Сравним показатели степеней: $0,2$ и $0$. Очевидно, что $0,2 > 0$.
Мы видим, что большему показателю степени ($0,2$) соответствует большее значение степени ($a^{0,2}$). Это свойство возрастающей функции, что означает, что основание степени $a$ больше 1.
Ответ: $a > 1$.