Номер 1, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Найдите значение выражения:

1) $2(\sqrt{5}-1)^2 \cdot 2\sqrt{5}$;

2) $11\sqrt{18} \div 121\sqrt{2}$;

3) $((\sqrt[4]{3})^{\sqrt{12}})^{\sqrt{12}}$.

1) Чтобы найти значение выражения $2^{(\sqrt{5}-1)^2} \cdot 2^{2\sqrt{5}}$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$2^{(\sqrt{5}-1)^2} \cdot 2^{2\sqrt{5}} = 2^{(\sqrt{5}-1)^2 + 2\sqrt{5}}$
Теперь упростим показатель степени. Сначала раскроем скобку $(\sqrt{5}-1)^2$, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{5}-1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$
Подставим полученное выражение обратно в показатель степени:
$(6 - 2\sqrt{5}) + 2\sqrt{5} = 6 - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 6$
Таким образом, исходное выражение равно $2^6$.
$2^6 = 64$
Ответ: 64

2) Чтобы найти значение выражения $11^{\sqrt{18}} : 121^{\sqrt{2}}$, приведем степени к одному основанию.
Заметим, что $121 = 11^2$. Тогда второй множитель можно представить как:
$121^{\sqrt{2}} = (11^2)^{\sqrt{2}}$
По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(11^2)^{\sqrt{2}} = 11^{2 \cdot \sqrt{2}} = 11^{2\sqrt{2}}$
Теперь исходное выражение можно записать в виде $11^{\sqrt{18}} : 11^{2\sqrt{2}}$.
Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$11^{\sqrt{18}} : 11^{2\sqrt{2}} = 11^{\sqrt{18} - 2\sqrt{2}}$
Упростим показатель степени. Преобразуем корень $\sqrt{18}$:
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
Подставим это значение в показатель степени и выполним вычитание:
$3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (3-2)\sqrt{2} = \sqrt{2}$
Таким образом, значение выражения равно $11^{\sqrt{2}}$.
Ответ: $11^{\sqrt{2}}$

3) Чтобы найти значение выражения $((\sqrt[4]{3})^{\sqrt{12}})^{\sqrt{12}}$, воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Применим это свойство последовательно, начиная с внешних скобок:
$((\sqrt[4]{3})^{\sqrt{12}})^{\sqrt{12}} = (\sqrt[4]{3})^{\sqrt{12} \cdot \sqrt{12}}$
Поскольку $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$, то $\sqrt{12} \cdot \sqrt{12} = 12$. Выражение упрощается до:
$(\sqrt[4]{3})^{12}$
Теперь представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}}$.
Получаем выражение $(3^{\frac{1}{4}})^{12}$.
Снова применяем свойство возведения степени в степень:
$(3^{\frac{1}{4}})^{12} = 3^{\frac{1}{4} \cdot 12} = 3^{\frac{12}{4}} = 3^3$
Вычисляем результат:
$3^3 = 27$
Ответ: 27