Страница 4 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Найдите значение выражения:

1) $2(\sqrt{5}-1)^2 \cdot 2\sqrt{5}$;

2) $11\sqrt{18} \div 121\sqrt{2}$;

3) $((\sqrt[4]{3})^{\sqrt{12}})^{\sqrt{12}}$.

1) Чтобы найти значение выражения $2^{(\sqrt{5}-1)^2} \cdot 2^{2\sqrt{5}}$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$2^{(\sqrt{5}-1)^2} \cdot 2^{2\sqrt{5}} = 2^{(\sqrt{5}-1)^2 + 2\sqrt{5}}$
Теперь упростим показатель степени. Сначала раскроем скобку $(\sqrt{5}-1)^2$, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{5}-1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$
Подставим полученное выражение обратно в показатель степени:
$(6 - 2\sqrt{5}) + 2\sqrt{5} = 6 - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 6$
Таким образом, исходное выражение равно $2^6$.
$2^6 = 64$
Ответ: 64

2) Чтобы найти значение выражения $11^{\sqrt{18}} : 121^{\sqrt{2}}$, приведем степени к одному основанию.
Заметим, что $121 = 11^2$. Тогда второй множитель можно представить как:
$121^{\sqrt{2}} = (11^2)^{\sqrt{2}}$
По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(11^2)^{\sqrt{2}} = 11^{2 \cdot \sqrt{2}} = 11^{2\sqrt{2}}$
Теперь исходное выражение можно записать в виде $11^{\sqrt{18}} : 11^{2\sqrt{2}}$.
Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$11^{\sqrt{18}} : 11^{2\sqrt{2}} = 11^{\sqrt{18} - 2\sqrt{2}}$
Упростим показатель степени. Преобразуем корень $\sqrt{18}$:
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
Подставим это значение в показатель степени и выполним вычитание:
$3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (3-2)\sqrt{2} = \sqrt{2}$
Таким образом, значение выражения равно $11^{\sqrt{2}}$.
Ответ: $11^{\sqrt{2}}$

3) Чтобы найти значение выражения $((\sqrt[4]{3})^{\sqrt{12}})^{\sqrt{12}}$, воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Применим это свойство последовательно, начиная с внешних скобок:
$((\sqrt[4]{3})^{\sqrt{12}})^{\sqrt{12}} = (\sqrt[4]{3})^{\sqrt{12} \cdot \sqrt{12}}$
Поскольку $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$, то $\sqrt{12} \cdot \sqrt{12} = 12$. Выражение упрощается до:
$(\sqrt[4]{3})^{12}$
Теперь представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}}$.
Получаем выражение $(3^{\frac{1}{4}})^{12}$.
Снова применяем свойство возведения степени в степень:
$(3^{\frac{1}{4}})^{12} = 3^{\frac{1}{4} \cdot 12} = 3^{\frac{12}{4}} = 3^3$
Вычисляем результат:
$3^3 = 27$
Ответ: 27

2. Упростите выражение:

1) $(a\sqrt{3} - 4)(a\sqrt{3} + 4) - (a\sqrt{3} - 3)^2$;

2) $\frac{a^2\sqrt{5} - 49}{a^2\sqrt{5} - 7a\sqrt{5}}$.

3. Сравните значения выражений:

1) $3^{2,4}$ и $3^{3,14}$;

2) $0,4^{0,5}$ и $0,4^{0,6}$;

3) $1$ и $(\frac{4}{3})^{\frac{1}{2}} ; $

4) $0,22^{-2}$ и $1$;

5) $(\sqrt{5})^{\frac{1}{2}}$ и $(\sqrt{5})^{\frac{1}{3}}$;

6) $(\sqrt{2}-1)^{-1,4}$ и $(\sqrt{2}-1)^{-1,5}$.

1) Для сравнения выражений $3^{2,4}$ и $3^{3,14}$ рассмотрим показательную функцию $y=a^x$ с основанием $a=3$. Так как основание степени $a=3 > 1$, данная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение самой степени. Сравним показатели: $2,4 < 3,14$. Следовательно, $3^{2,4} < 3^{3,14}$.
Ответ: $3^{2,4} < 3^{3,14}$.

2) Для сравнения выражений $0,4^{0,5}$ и $0,4^{0,6}$ рассмотрим показательную функцию $y=a^x$ с основанием $a=0,4$. Так как основание степени $0 < a < 1$ (в нашем случае $0 < 0,4 < 1$), данная функция является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение самой степени. Сравним показатели: $0,5 < 0,6$. Так как функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $0,4^{0,5} > 0,4^{0,6}$.
Ответ: $0,4^{0,5} > 0,4^{0,6}$.

3) Сравним $1$ и $(\frac{4}{3})^{\frac{1}{2}}$. Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Представим 1 как $(\frac{4}{3})^0$. Теперь нам нужно сравнить $(\frac{4}{3})^0$ и $(\frac{4}{3})^{\frac{1}{2}}$. Основание степени $a = \frac{4}{3} > 1$, поэтому показательная функция $y=(\frac{4}{3})^x$ является возрастающей. Сравним показатели: $0 < \frac{1}{2}$. Следовательно, $(\frac{4}{3})^0 < (\frac{4}{3})^{\frac{1}{2}}$, что означает $1 < (\frac{4}{3})^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $1 < (\frac{4}{3})^{\frac{1}{2}}$.

4) Сравним $0,22^{-2}$ и $1$. Представим $1$ как $0,22^0$. Теперь сравним $0,22^{-2}$ и $0,22^0$. Основание степени $a=0,22$, и $0 < 0,22 < 1$. Следовательно, показательная функция $y=0,22^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $-2 < 0$. Так как функция убывающая, знак неравенства для значений степеней будет противоположным: $0,22^{-2} > 0,22^0$. Таким образом, $0,22^{-2} > 1$.
Ответ: $0,22^{-2} > 1$.

5) Сравним $(\sqrt{5})^{\frac{1}{2}}$ и $(\sqrt{5})^{\frac{1}{3}}$. Основание степени $a=\sqrt{5}$. Так как $5 > 1$, то и $\sqrt{5} > 1$. Значит, показательная функция $y=(\sqrt{5})^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Приводя к общему знаменателю, получаем $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ и $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Так как $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$, то $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$. Поскольку функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение: $(\sqrt{5})^{\frac{1}{2}} > (\sqrt{5})^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $(\sqrt{5})^{\frac{1}{2}} > (\sqrt{5})^{\frac{1}{3}}$.

6) Сравним $(\sqrt{2}-1)^{-1,4}$ и $(\sqrt{2}-1)^{-1,5}$. Основание степени $a=\sqrt{2}-1$. Оценим значение основания: $1 < \sqrt{2} < 2$, вычитая 1 из всех частей неравенства, получаем $0 < \sqrt{2}-1 < 1$. Так как основание степени находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция $y=(\sqrt{2}-1)^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $-1,4$ и $-1,5$. Так как $-1,4 > -1,5$, а функция убывающая, то знак неравенства меняется на противоположный: $(\sqrt{2}-1)^{-1,4} < (\sqrt{2}-1)^{-1,5}$.
Ответ: $(\sqrt{2}-1)^{-1,4} < (\sqrt{2}-1)^{-1,5}$.

4. Сравните с числом 1 положительное число $a$, если:

1) $a^{\frac{3}{5}} > a^{\frac{4}{7}}$;

2) $a^{-\frac{2}{3}} < a^{\frac{1}{9}}$;

3) $a^{0.2} > 1$.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами степенной функции $y = a^x$ при $a > 0$.
Если основание степени $a > 1$, то функция является возрастающей, то есть большему значению показателя степени соответствует большее значение функции. Если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$.
Если основание степени $0 < a < 1$, то функция является убывающей, то есть большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции. Если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$.

1) Дано неравенство $a^{\frac{3}{5}} > a^{\frac{4}{7}}$.
Сравним показатели степеней: $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$. Приведем дроби к общему знаменателю $35$:
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}$
$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{20}{35}$
Так как $21 > 20$, то $\frac{21}{35} > \frac{20}{35}$, следовательно, $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$.
Мы видим, что большему показателю степени ($\frac{3}{5}$) соответствует большее значение степени ($a^{\frac{3}{5}}$). Это свойство возрастающей функции, что означает, что основание степени $a$ больше 1.
Ответ: $a > 1$.

2) Дано неравенство $a^{-\frac{2}{3}} < a^{\frac{1}{9}}$.
Сравним показатели степеней: $-\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{9}$.
Так как $-\frac{2}{3}$ — отрицательное число, а $\frac{1}{9}$ — положительное, то очевидно, что $-\frac{2}{3} < \frac{1}{9}$.
Мы видим, что меньшему показателю степени ($-\frac{2}{3}$) соответствует меньшее значение степени ($a^{-\frac{2}{3}}$). Это свойство возрастающей функции, что означает, что основание степени $a$ больше 1.
Ответ: $a > 1$.

3) Дано неравенство $a^{0,2} > 1$.
Поскольку по условию $a$ — положительное число, мы можем представить $1$ как $a^0$.
Тогда неравенство примет вид: $a^{0,2} > a^0$.
Сравним показатели степеней: $0,2$ и $0$. Очевидно, что $0,2 > 0$.
Мы видим, что большему показателю степени ($0,2$) соответствует большее значение степени ($a^{0,2}$). Это свойство возрастающей функции, что означает, что основание степени $a$ больше 1.
Ответ: $a > 1$.

5. Сравните числа m и n, если:

1) $3,8^m < 3,8^n$;

2) $0,7^m < 0,7^n$;

3) $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^m > \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$.

Для решения этой задачи нужно использовать свойство монотонности показательной функции $y = a^x$. Поведение функции зависит от её основания $a$:

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства для показателей степеней сохраняется. Например, если $a^m < a^n$, то $m < n$.
• Если $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный. Например, если $a^m < a^n$, то $m > n$.

1) $3,8^m < 3,8^n$

В данном неравенстве основание степени $a = 3,8$. Поскольку $3,8 > 1$, показательная функция с этим основанием является возрастающей. Следовательно, знак неравенства для показателей $m$ и $n$ сохраняется.
Из $3,8^m < 3,8^n$ следует, что $m < n$.
Ответ: $m < n$.

2) $0,7^m < 0,7^n$

В данном неравенстве основание степени $a = 0,7$. Поскольку $0 < 0,7 < 1$, показательная функция с этим основанием является убывающей. Следовательно, знак неравенства для показателей $m$ и $n$ меняется на противоположный.
Из $0,7^m < 0,7^n$ следует, что $m > n$.
Ответ: $m > n$.

3) ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^m > {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n$

В данном неравенстве основание степени $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Оценим значение этого основания. Мы знаем, что $1 < \sqrt{2} < 2$. Разделив это двойное неравенство на 2, получим $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$. Таким образом, основание $a$ находится в интервале $(0, 1)$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Следовательно, знак неравенства для показателей $m$ и $n$ меняется на противоположный.
Из ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^m > {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n$ следует, что $m < n$.
Ответ: $m < n$.

6. Найдите область значений функции:

1) $y = -7x;$

2) $y = 7x + 3;$

3) $y = \left(\frac{1}{7}\right)^x - 2;$

4) $y = 7|x|.$

7. Найдите наибольшее значение функции $y = 0.3^x$ на промежутке $[-1; 3]$.

Дана показательная функция $y = 0,3^x$.

Основание степени в данной функции $a = 0,3$. Так как основание удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$ ($0 < 0,3 < 1$), то функция является монотонно убывающей на всей своей области определения.

Для монотонно убывающей функции на заданном отрезке наибольшее значение достигается в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.

Следовательно, на промежутке $[-1; 3]$ наибольшее значение функция принимает при наименьшем значении $x$, то есть при $x = -1$.

Найдем это значение, подставив $x = -1$ в уравнение функции:

$y_{наиб} = 0,3^{-1} = (\frac{3}{10})^{-1} = \frac{1}{\frac{3}{10}} = \frac{10}{3}$.

Ответ: $\frac{10}{3}$.