Страница 8 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. Решите уравнение:

1) $\log_2 x = 4$;

2) $\log_{\sqrt[3]{3}} x = 9$;

3) $\log_8 x = 1$;

4) $\log_x 8 = 3$;

5) $\log_{x-1} 25 = 2$;

6) $\log_x 36 = \frac{2}{3}$.

1) По определению логарифма, если $\log_{a} b = c$, то это эквивалентно равенству $a^c = b$.

Применяя это определение к уравнению $\log_{2} x = 4$, получаем:

$x = 2^4$

$x = 16$

Ответ: $16$

2) Используя определение логарифма $\log_{a} b = c \iff a^c = b$ для уравнения $\log_{\sqrt[3]{3}} x = 9$, имеем:

$x = (\sqrt[3]{3})^9$

Так как $\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}$, то уравнение можно переписать в виде:

$x = (3^{1/3})^9 = 3^{\frac{1}{3} \cdot 9} = 3^3$

$x = 27$

Ответ: $27$

3) Согласно определению логарифма, из уравнения $\log_{8} x = 1$ следует, что:

$x = 8^1$

$x = 8$

Ответ: $8$

4) По определению логарифма, уравнение $\log_{x} 8 = 3$ эквивалентно показательному уравнению:

$x^3 = 8$

Поскольку $8 = 2^3$, получаем:

$x^3 = 2^3$

Отсюда следует, что $x=2$.

Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице. $x=2$ удовлетворяет этим условиям ($2 > 0$ и $2 \neq 1$).

Ответ: $2$

5) Перейдем от логарифмического уравнения к показательному, используя определение логарифма:

$(x-1)^2 = 25$

Это уравнение имеет два возможных решения для выражения в скобках:

$x-1 = 5$ или $x-1 = -5$

Решая первое уравнение, получаем $x = 6$.

Решая второе уравнение, получаем $x = -4$.

Проверим область допустимых значений. Основание логарифма $x-1$ должно быть положительным и не равняться единице:

1. $x-1 > 0 \implies x > 1$

2. $x-1 \neq 1 \implies x \neq 2$

Корень $x=6$ удовлетворяет обоим условиям.

Корень $x=-4$ не удовлетворяет условию $x > 1$, поэтому является посторонним.

Ответ: $6$

6) По определению логарифма, уравнение $\log_{x} 36 = \frac{2}{3}$ равносильно уравнению:

$x^{2/3} = 36$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$:

$(x^{2/3})^{3/2} = 36^{3/2}$

$x = (\sqrt{36})^3$

$x = 6^3$

$x = 216$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень области определения логарифма: основание $x$ должно быть больше 0 и не равно 1. $x=216$ удовлетворяет этим условиям.

Ответ: $216$

26. Решите уравнение:

1) $3^x = 5;$

2) $2^{x+9} = 12;$

3) $7^{2x-3} = 6.$

1)

Дано показательное уравнение $3^x = 5$.

Для решения этого уравнения применяется операция логарифмирования. Согласно определению логарифма, если $a^x = b$, то $x = \log_a(b)$.

Применим это определение к нашему уравнению, где основание $a=3$, а число $b=5$.

Получаем:

$x = \log_3(5)$

Это точное решение уравнения.

Ответ: $x = \log_3(5)$

2)

Дано показательное уравнение $2^{x+9} = 12$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2(2^{x+9}) = \log_2(12)$

Используя основное свойство логарифма $\log_a(a^y) = y$, левая часть уравнения упрощается до показателя степени:

$x+9 = \log_2(12)$

Теперь выразим $x$, перенеся 9 в правую часть:

$x = \log_2(12) - 9$

Для упрощения ответа можно разложить логарифм $\log_2(12)$, используя свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a(b) + \log_a(c)$:

$\log_2(12) = \log_2(4 \cdot 3) = \log_2(4) + \log_2(3)$

Так как $4 = 2^2$, то $\log_2(4) = 2$.

$\log_2(12) = 2 + \log_2(3)$

Подставим это значение в выражение для $x$:

$x = (2 + \log_2(3)) - 9 = \log_2(3) - 7$

Ответ: $x = \log_2(3) - 7$

3)

Дано показательное уравнение $7^{2x-3} = 6$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 7:

$\log_7(7^{2x-3}) = \log_7(6)$

Используя свойство $\log_a(a^y) = y$, получаем линейное уравнение относительно $x$:

$2x-3 = \log_7(6)$

Решим это уравнение. Сначала прибавим 3 к обеим частям:

$2x = \log_7(6) + 3$

Теперь разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\log_7(6) + 3}{2}$

Ответ: $x = \frac{\log_7(6) + 3}{2}$

27. Найдите значение выражения:

1) $\left(\log_2 12 - \log_2 3 + 9^{\log_9 8}\right)^{\lg 3}$;

2) $\frac{2\log_3 4 + \log_3 0.5}{\log_3 6 - \log_3 12}$

1) $(\log_2 12 - \log_2 3 + 9^{\log_9 8})^{\lg 3}$

Для решения этого выражения, упростим сначала выражение в скобках. Воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.

$\log_2 12 - \log_2 3 = \log_2 \frac{12}{3} = \log_2 4$.

Так как $2^2 = 4$, то $\log_2 4 = 2$.

2. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:

$9^{\log_9 8} = 8$.

3. Теперь подставим полученные значения обратно в выражение в скобках:

$2 + 8 = 10$.

4. В итоге исходное выражение принимает вид:

$10^{\lg 3}$.

Десятичный логарифм $\lg 3$ — это логарифм по основанию 10, то есть $\log_{10} 3$. Снова применяем основное логарифмическое тождество:

$10^{\log_{10} 3} = 3$.

Ответ: 3

2) $\frac{2\log_3 4 + \log_3 0,5}{\log_3 6 - \log_3 12}$

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя свойства логарифмов.

1. Упростим числитель: $2\log_3 4 + \log_3 0,5$.

Используем свойство $c \log_a b = \log_a (b^c)$:

$2\log_3 4 = \log_3 (4^2) = \log_3 16$.

Теперь используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:

$\log_3 16 + \log_3 0,5 = \log_3 (16 \cdot 0,5) = \log_3 8$.

2. Упростим знаменатель: $\log_3 6 - \log_3 12$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_3 6 - \log_3 12 = \log_3 \frac{6}{12} = \log_3 \frac{1}{2}$.

3. Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$\frac{\log_3 8}{\log_3 \frac{1}{2}}$.

Представим 8 как $2^3$ и $\frac{1}{2}$ как $2^{-1}$:

$\frac{\log_3 (2^3)}{\log_3 (2^{-1})}$.

Воспользуемся свойством $\log_a (b^c) = c \log_a b$ для числителя и знаменателя:

$\frac{3 \log_3 2}{-1 \cdot \log_3 2} = \frac{3 \log_3 2}{-\log_3 2}$.

Сократим общий множитель $\log_3 2$:

$\frac{3}{-1} = -3$.

Ответ: -3

28. Вычислите значение выражения

$3^{\frac{2}{\log_{\sqrt{5}} 3} + \frac{1}{3}\log_3 8} - 27\log_2 \sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}}$

Для вычисления значения данного выражения, разделим его на две части и упростим каждую по отдельности.

Сначала преобразуем показатель степени. Он состоит из двух частей.

Первая часть показателя: $\frac{2}{\log_{\sqrt{5}}3}$. Используем свойство логарифма $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$:

$\frac{2}{\log_{\sqrt{5}}3} = 2 \cdot \frac{1}{\log_{\sqrt{5}}3} = 2 \log_3 \sqrt{5}$.

Далее, по свойству $c \log_b a = \log_b a^c$, получаем:

$2 \log_3 \sqrt{5} = \log_3 ((\sqrt{5})^2) = \log_3 5$.

Вторая часть показателя: $\frac{1}{3}\log_3 8$. Аналогично, используем свойство $c \log_b a = \log_b a^c$:

$\frac{1}{3}\log_3 8 = \log_3(8^{\frac{1}{3}}) = \log_3(\sqrt[3]{8}) = \log_3 2$.

Теперь сложим обе части показателя, используя свойство $\log_b a + \log_b c = \log_b(ac)$:

$\log_3 5 + \log_3 2 = \log_3 (5 \cdot 2) = \log_3 10$.

Таким образом, первое слагаемое выражения равно:

$3^{\log_3 10}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:

$3^{\log_3 10} = 10$.

Сначала преобразуем выражение под логарифмом в показателе степени: $\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}}$.

$\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}} = \sqrt[4]{2^1 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[4]{2^{1+\frac{1}{3}}} = \sqrt[4]{2^{\frac{4}{3}}} = (2^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 4}} = 2^{\frac{1}{3}}$.

Теперь сам показатель степени: $\log_2(2^{\frac{1}{3}})$.

По свойству $\log_b a^c = c \log_b a$, получаем:

$\log_2(2^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} \log_2 2 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.

Таким образом, второе слагаемое выражения равно:

$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$.

Теперь, когда мы упростили обе части исходного выражения, мы можем найти его значение, вычитая второе из первого:

$10 - 3 = 7$.

Ответ: 7

29. Найдите значение выражения $\frac{9 - \lg^2 2}{4\lg\sqrt[4]{1000} + \lg 2} + \lg 2$.

Для того чтобы найти значение выражения, упростим его по частям.

1. Упростим знаменатель дроби: $4\lg\sqrt[4]{1000} + \lg 2$.

Преобразуем выражение под знаком логарифма: $\sqrt[4]{1000} = \sqrt[4]{10^3} = 10^{3/4}$.

Теперь подставим это в первое слагаемое знаменателя и воспользуемся свойством логарифма степени $(\log_a b^c = c \log_a b)$:

$4\lg\sqrt[4]{1000} = 4\lg(10^{3/4}) = 4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \lg 10$.

Так как $\lg 10$ — это десятичный логарифм, его значение равно 1 $(\lg 10 = \log_{10} 10 = 1)$.

Следовательно, $4 \cdot \frac{3}{4} \cdot 1 = 3$.

Таким образом, весь знаменатель равен $3 + \lg 2$.

2. Упростим числитель дроби: $9 - \lg^2 2$.

Числитель представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=3$ и $b=\lg 2$.

Разложим числитель на множители:

$9 - \lg^2 2 = 3^2 - (\lg 2)^2 = (3 - \lg 2)(3 + \lg 2)$.

3. Подставим упрощенные части обратно в выражение и вычислим результат.

Исходное выражение: $\frac{9 - \lg^2 2}{4\lg\sqrt[4]{1000} + \lg 2} + \lg 2$.

Подставляем упрощенные числитель и знаменатель:

$\frac{(3 - \lg 2)(3 + \lg 2)}{3 + \lg 2} + \lg 2$.

Сокращаем дробь на общий множитель $(3 + \lg 2)$:

$(3 - \lg 2) + \lg 2$.

Выполняем сложение:

$3 - \lg 2 + \lg 2 = 3$.

Ответ: 3

30. Постройте график функции:

1) $y = 4^{\log_4 (x-2)}$;

2) $y = \log_{x+1} (x+1)$;

3) $y = \log_5 \log_{3-x} (3-x)^{125}$;

4) $y = \log_3 x \cdot \log_x \frac{1}{9}$.

1) $y = 4^{\log_4(x-2)}$

Для построения графика данной функции, сначала найдем ее область определения (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$x-2 > 0 \implies x > 2$.
Теперь упростим саму функцию, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$y = x-2$.
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком прямой $y=x-2$, но только при условии $x > 2$.
Это луч, который начинается в точке $(2, 0)$ (сама точка выколота, так как неравенство $x > 2$ строгое) и проходит, например, через точку $(3, 1)$.

Ответ: Графиком функции является луч прямой $y=x-2$ с началом в точке $(2, 0)$, которая не включена в график.

2) $y = \log_{x+1}(x+1)$

Найдем область определения функции (ОДЗ). Для логарифма $\log_b a$ должны выполняться условия: аргумент $a>0$, основание $b>0$ и основание $b \neq 1$.
В нашем случае основание и аргумент логарифма совпадают: $b = a = x+1$.
Получаем условия:
1) $x+1 > 0 \implies x > -1$.
2) $x+1 \neq 1 \implies x \neq 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty)$.
На всей области определения, согласно свойству логарифма $\log_a a = 1$, функция принимает значение $y=1$.
Графиком является горизонтальная прямая $y=1$ на указанной области определения. Это прямая, определенная для $x > -1$, с выколотой точкой при $x=0$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$ при $x > -1$ с выколотой точкой $(0, 1)$.

3) $y = \log_5 \log_{3-x} (3-x)^{125}$

Найдем область определения функции (ОДЗ).
1. Для внутреннего логарифма $\log_{3-x}(...)$ основание должно быть положительным и не равным единице:
$3-x > 0 \implies x < 3$.
$3-x \neq 1 \implies x \neq 2$.
2. Аргумент внешнего логарифма $\log_5(...)$ должен быть положительным: $\log_{3-x} (3-x)^{125} > 0$.
Упростим функцию. Используем свойство логарифма $\log_b a^c = c \log_b a$:
$y = \log_5 (125 \cdot \log_{3-x}(3-x))$.
На найденной ОДЗ ($x<3, x \neq 2$) выражение $\log_{3-x}(3-x) = 1$.
Тогда функция принимает вид:
$y = \log_5(125 \cdot 1) = \log_5(125)$.
Так как $125 = 5^3$, то $y = \log_5(5^3) = 3$.
При этом аргумент внешнего логарифма равен 125, что больше 0, так что второе условие ОДЗ выполняется автоматически для всех $x$ из ОДЗ внутреннего логарифма.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3)$.
Графиком является горизонтальная прямая $y=3$ на этой области определения.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=3$ при $x < 3$ с выколотой точкой $(2, 3)$.

4) $y = \log_3 x \cdot \log_x \frac{1}{9}$

Найдем область определения функции (ОДЗ).
1. Для логарифма $\log_3 x$ аргумент должен быть положительным: $x > 0$.
2. Для логарифма $\log_x \frac{1}{9}$ основание должно быть положительным и не равным единице: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.
Упростим функцию, используя свойство логарифма (формулу перехода к новому основанию): $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.
$y = \log_3 x \cdot \log_x \frac{1}{9} = \log_3 \left(\frac{1}{9}\right)$.
Вычислим значение логарифма:
$y = \log_3(3^{-2}) = -2$.
Итак, на всей области определения функция постоянна и равна -2.
Графиком является горизонтальная прямая $y=-2$ на области определения $x > 0, x \neq 1$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=-2$ при $x > 0$ с выколотой точкой $(1, -2)$.

31. Сравните:

1) $\log_7 8$ и $\log_7 10$;

2) $\log_{\frac{1}{3}} 6$ и $\log_{\frac{1}{3}} 5$;

3) $\log_3 12$ и $2$;

4) $\log_{\frac{1}{25}} 4$ и $-\frac{1}{2}$.

1) Для сравнения $log_7 8$ и $log_7 10$ рассмотрим свойства логарифмической функции $y = log_a x$.
В данном случае основание логарифма $a = 7$. Так как $a > 1$, функция $y = log_7 x$ является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $log_7 x_1 < log_7 x_2$.
Сравним аргументы логарифмов: $8$ и $10$.
Поскольку $8 < 10$, то и $log_7 8 < log_7 10$.
Ответ: $log_7 8 < log_7 10$.

2) Для сравнения $log_{\frac{1}{3}} 6$ и $log_{\frac{1}{3}} 5$ рассмотрим свойства логарифмической функции.
Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, функция $y = log_{\frac{1}{3}} x$ является убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $log_{\frac{1}{3}} x_1 > log_{\frac{1}{3}} x_2$.
Сравним аргументы логарифмов: $6$ и $5$.
Поскольку $6 > 5$, то для убывающей функции выполняется обратное неравенство: $log_{\frac{1}{3}} 6 < log_{\frac{1}{3}} 5$.
Ответ: $log_{\frac{1}{3}} 6 < log_{\frac{1}{3}} 5$.

3) Для сравнения $log_3 12$ и $2$ представим число $2$ в виде логарифма с основанием $3$.
По определению логарифма $b = log_a a^b$, поэтому $2 = log_3 3^2 = log_3 9$.
Теперь задача сводится к сравнению двух логарифмов с одинаковым основанием: $log_3 12$ и $log_3 9$.
Основание логарифма $a = 3$, то есть $a > 1$. Следовательно, функция $y = log_3 x$ является возрастающей.
Сравним аргументы: $12$ и $9$.
Поскольку $12 > 9$, то $log_3 12 > log_3 9$.
Таким образом, $log_3 12 > 2$.
Ответ: $log_3 12 > 2$.

4) Для сравнения $log_{\frac{1}{25}} 4$ и $-\frac{1}{2}$ представим число $-\frac{1}{2}$ в виде логарифма с основанием $\frac{1}{25}$.
По определению логарифма, $-\frac{1}{2} = log_{\frac{1}{25}} \left(\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}}\right)$.
Упростим выражение в аргументе логарифма:
$\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} = (25^{-1})^{-\frac{1}{2}} = 25^{(-1) \cdot (-\frac{1}{2})} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$.
Таким образом, $-\frac{1}{2} = log_{\frac{1}{25}} 5$.
Теперь сравним $log_{\frac{1}{25}} 4$ и $log_{\frac{1}{25}} 5$.
Основание логарифма $a = \frac{1}{25}$, то есть $0 < a < 1$. Следовательно, функция $y = log_{\frac{1}{25}} x$ является убывающей.
Сравним аргументы: $4$ и $5$.
Поскольку $4 < 5$, для убывающей функции выполняется обратное неравенство: $log_{\frac{1}{25}} 4 > log_{\frac{1}{25}} 5$.
Таким образом, $log_{\frac{1}{25}} 4 > -\frac{1}{2}$.
Ответ: $log_{\frac{1}{25}} 4 > -\frac{1}{2}$.