Номер 30, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. Постройте график функции:

1) $y = 4^{\log_4 (x-2)}$;

2) $y = \log_{x+1} (x+1)$;

3) $y = \log_5 \log_{3-x} (3-x)^{125}$;

4) $y = \log_3 x \cdot \log_x \frac{1}{9}$.

1) $y = 4^{\log_4(x-2)}$

Для построения графика данной функции, сначала найдем ее область определения (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$x-2 > 0 \implies x > 2$.
Теперь упростим саму функцию, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$y = x-2$.
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком прямой $y=x-2$, но только при условии $x > 2$.
Это луч, который начинается в точке $(2, 0)$ (сама точка выколота, так как неравенство $x > 2$ строгое) и проходит, например, через точку $(3, 1)$.

Ответ: Графиком функции является луч прямой $y=x-2$ с началом в точке $(2, 0)$, которая не включена в график.

2) $y = \log_{x+1}(x+1)$

Найдем область определения функции (ОДЗ). Для логарифма $\log_b a$ должны выполняться условия: аргумент $a>0$, основание $b>0$ и основание $b \neq 1$.
В нашем случае основание и аргумент логарифма совпадают: $b = a = x+1$.
Получаем условия:
1) $x+1 > 0 \implies x > -1$.
2) $x+1 \neq 1 \implies x \neq 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty)$.
На всей области определения, согласно свойству логарифма $\log_a a = 1$, функция принимает значение $y=1$.
Графиком является горизонтальная прямая $y=1$ на указанной области определения. Это прямая, определенная для $x > -1$, с выколотой точкой при $x=0$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$ при $x > -1$ с выколотой точкой $(0, 1)$.

3) $y = \log_5 \log_{3-x} (3-x)^{125}$

Найдем область определения функции (ОДЗ).
1. Для внутреннего логарифма $\log_{3-x}(...)$ основание должно быть положительным и не равным единице:
$3-x > 0 \implies x < 3$.
$3-x \neq 1 \implies x \neq 2$.
2. Аргумент внешнего логарифма $\log_5(...)$ должен быть положительным: $\log_{3-x} (3-x)^{125} > 0$.
Упростим функцию. Используем свойство логарифма $\log_b a^c = c \log_b a$:
$y = \log_5 (125 \cdot \log_{3-x}(3-x))$.
На найденной ОДЗ ($x<3, x \neq 2$) выражение $\log_{3-x}(3-x) = 1$.
Тогда функция принимает вид:
$y = \log_5(125 \cdot 1) = \log_5(125)$.
Так как $125 = 5^3$, то $y = \log_5(5^3) = 3$.
При этом аргумент внешнего логарифма равен 125, что больше 0, так что второе условие ОДЗ выполняется автоматически для всех $x$ из ОДЗ внутреннего логарифма.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3)$.
Графиком является горизонтальная прямая $y=3$ на этой области определения.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=3$ при $x < 3$ с выколотой точкой $(2, 3)$.

4) $y = \log_3 x \cdot \log_x \frac{1}{9}$

Найдем область определения функции (ОДЗ).
1. Для логарифма $\log_3 x$ аргумент должен быть положительным: $x > 0$.
2. Для логарифма $\log_x \frac{1}{9}$ основание должно быть положительным и не равным единице: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.
Упростим функцию, используя свойство логарифма (формулу перехода к новому основанию): $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.
$y = \log_3 x \cdot \log_x \frac{1}{9} = \log_3 \left(\frac{1}{9}\right)$.
Вычислим значение логарифма:
$y = \log_3(3^{-2}) = -2$.
Итак, на всей области определения функция постоянна и равна -2.
Графиком является горизонтальная прямая $y=-2$ на области определения $x > 0, x \neq 1$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=-2$ при $x > 0$ с выколотой точкой $(1, -2)$.