Номер 33, страница 9 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. Сравните с нулём:

1) $ \log_3 7; $

2) $ \log_5 0,6; $

3) $ \log_{\frac{2}{3}} 0,1; $

4) $ \log_{\frac{1}{2}} 3. $

Для сравнения значения логарифма $log_a b$ с нулём, необходимо проанализировать основание логарифма $a$ и его аргумент $b$. Знак логарифма определяется по следующим правилам, основанным на свойстве монотонности логарифмической функции и том, что $log_a 1 = 0$:

• Если основание $a > 1$ (функция возрастающая):
  • при аргументе $b > 1$, значение логарифма $log_a b > 0$.
  • при аргументе $0 < b < 1$, значение логарифма $log_a b < 0$.
• Если основание $0 < a < 1$ (функция убывающая):
  • при аргументе $b > 1$, значение логарифма $log_a b < 0$.
  • при аргументе $0 < b < 1$, значение логарифма $log_a b > 0$.

Применим эти правила к каждому из выражений.

1) $log_3 7$

Основание $a = 3$, что больше 1 ($a > 1$). Аргумент $b = 7$, что также больше 1 ($b > 1$).

Поскольку основание больше 1, а аргумент больше 1, значение логарифма положительно.

Ответ: $log_3 7 > 0$.

2) $log_5 0,6$

Основание $a = 5$, что больше 1 ($a > 1$). Аргумент $b = 0,6$, что меньше 1 ($0 < b < 1$).

Поскольку основание больше 1, а аргумент меньше 1, значение логарифма отрицательно.

Ответ: $log_5 0,6 < 0$.

3) $log_{\frac{2}{3}} 0,1$

Основание $a = \frac{2}{3}$, что меньше 1 ($0 < a < 1$). Аргумент $b = 0,1$, что также меньше 1 ($0 < b < 1$).

Поскольку и основание, и аргумент меньше 1, значение логарифма положительно.

Ответ: $log_{\frac{2}{3}} 0,1 > 0$.

4) $log_{\frac{1}{2}} 3$

Основание $a = \frac{1}{2}$, что меньше 1 ($0 < a < 1$). Аргумент $b = 3$, что больше 1 ($b > 1$).

Поскольку основание меньше 1, а аргумент больше 1, значение логарифма отрицательно.

Ответ: $log_{\frac{1}{2}} 3 < 0$.