Номер 39, страница 10 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

39. Решите уравнение:

1) $\log_3(2x - 5) = 3;$

2) $\log_{0,2}(x + 4) = -2;$

3) $\log_{\frac{1}{27}}(x^2 - 8x) = -\frac{2}{3};$

4) $\log_7 \log_3 \log_2 x = 0;$

5) $\log_2(9 - 2^x) = 3 - x;$

6) $\log_{x-2}(4x^2 - 14x + 7) = 2.$

1) $ \log_3(2x - 5) = 3 $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$ 2x - 5 > 0 $
$ 2x > 5 $
$ x > 2.5 $

Решим уравнение, используя основное логарифмическое тождество $ \log_a b = c \iff a^c = b $.
$ 2x - 5 = 3^3 $
$ 2x - 5 = 27 $
$ 2x = 32 $
$ x = 16 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию ОДЗ: $ 16 > 2.5 $. Корень подходит.

Ответ: $ 16 $

2) $ \log_{0.2}(x + 4) = -2 $

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля.
$ x + 4 > 0 $
$ x > -4 $

Решаем уравнение по определению логарифма. Заметим, что $ 0.2 = \frac{1}{5} $.
$ x + 4 = (0.2)^{-2} $
$ x + 4 = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} $
$ x + 4 = 5^2 $
$ x + 4 = 25 $
$ x = 21 $

Проверка ОДЗ: $ 21 > -4 $. Корень удовлетворяет условию.

Ответ: $ 21 $

3) $ \log_{\frac{1}{27}}(x^2 - 8x) = -\frac{2}{3} $

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным.
$ x^2 - 8x > 0 $
$ x(x - 8) > 0 $
Решением этого неравенства является объединение интервалов $ (-\infty; 0) \cup (8; +\infty) $.

Решаем уравнение. Основание логарифма $ \frac{1}{27} = 3^{-3} $.
$ x^2 - 8x = \left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{2}{3}} $
$ x^2 - 8x = (27)^{\frac{2}{3}} $
$ x^2 - 8x = (3^3)^{\frac{2}{3}} $
$ x^2 - 8x = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} $
$ x^2 - 8x = 3^2 $
$ x^2 - 8x = 9 $
$ x^2 - 8x - 9 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $ x_1 = 9 $, $ x_2 = -1 $.

Проверяем корни по ОДЗ.
$ x_1 = 9 $: $ 9 \in (8; +\infty) $, корень подходит.
$ x_2 = -1 $: $ -1 \in (-\infty; 0) $, корень подходит.

Ответ: $ -1; 9 $

4) $ \log_7\log_3\log_2 x = 0 $

Найдем ОДЗ. Для вложенных логарифмов необходимо, чтобы каждый аргумент был положителен.
1) $ x > 0 $
2) $ \log_2 x > 0 \implies \log_2 x > \log_2 1 \implies x > 1 $
3) $ \log_3(\log_2 x) > 0 \implies \log_3(\log_2 x) > \log_3 1 \implies \log_2 x > 1 \implies x > 2 $
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $ x > 2 $.

Решаем уравнение, последовательно избавляясь от логарифмов, начиная с внешнего.
$ \log_7(\log_3\log_2 x) = 0 $
$ \log_3\log_2 x = 7^0 $
$ \log_3\log_2 x = 1 $
$ \log_2 x = 3^1 $
$ \log_2 x = 3 $
$ x = 2^3 $
$ x = 8 $

Проверка ОДЗ: $ 8 > 2 $. Корень подходит.

Ответ: $ 8 $

5) $ \log_2(9 - 2^x) = 3 - x $

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен.
$ 9 - 2^x > 0 $
$ 9 > 2^x $
$ \log_2 9 > \log_2(2^x) $
$ x < \log_2 9 $ (Так как $ \log_2 8 = 3 $, то $ \log_2 9 \approx 3.17 $)

Решаем уравнение по определению логарифма.
$ 9 - 2^x = 2^{3-x} $
$ 9 - 2^x = \frac{2^3}{2^x} $
$ 9 - 2^x = \frac{8}{2^x} $
Сделаем замену $ t = 2^x $, где $ t > 0 $.
$ 9 - t = \frac{8}{t} $
Умножим обе части на $ t $ (т.к. $ t \neq 0 $):
$ 9t - t^2 = 8 $
$ t^2 - 9t + 8 = 0 $
По теореме Виета, корни $ t_1 = 1 $, $ t_2 = 8 $. Оба корня положительны.
Возвращаемся к замене:
1) $ 2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x_1 = 0 $
2) $ 2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x_2 = 3 $

Проверяем корни по ОДЗ: $ x < \log_2 9 $.
$ x_1 = 0 $: $ 0 < \log_2 9 $, корень подходит.
$ x_2 = 3 $: $ 3 = \log_2 8 < \log_2 9 $, корень подходит.

Ответ: $ 0; 3 $

6) $ \log_{x-2}(4x^2 - 14x + 7) = 2 $

ОДЗ для логарифма с переменным основанием:
1) Аргумент должен быть положителен: $ 4x^2 - 14x + 7 > 0 $. Корни квадратного трехчлена $ x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 112}}{8} = \frac{14 \pm \sqrt{84}}{8} = \frac{7 \pm \sqrt{21}}{4} $. Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty; \frac{7 - \sqrt{21}}{4}) \cup (\frac{7 + \sqrt{21}}{4}; +\infty) $.
2) Основание должно быть положительно: $ x - 2 > 0 \implies x > 2 $.
3) Основание не должно быть равно единице: $ x - 2 \neq 1 \implies x \neq 3 $.
Объединяя условия, получаем: $ x \in (\frac{7 + \sqrt{21}}{4}; 3) \cup (3; +\infty) $, так как $ 2 < \frac{7 + \sqrt{21}}{4} < 3 $.

Решаем уравнение по определению логарифма.
$ 4x^2 - 14x + 7 = (x-2)^2 $
$ 4x^2 - 14x + 7 = x^2 - 4x + 4 $
$ 3x^2 - 10x + 3 = 0 $
Находим корни квадратного уравнения:
$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2 $
$ x_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
$ x_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 $

Проверяем найденные корни на соответствие ОДЗ.
$ x_1 = \frac{1}{3} $. Этот корень не удовлетворяет условию $ x > 2 $.
$ x_2 = 3 $. Этот корень не удовлетворяет условию $ x \neq 3 $.
Оба найденных значения не входят в область допустимых значений, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет