Номер 41, страница 10 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. Решите уравнение:

1) $\log_3(x + 1) + \log_3(x + 3) = 1$;

2) $\log_4(x - 2) = 1 - \log_4(x + 1)$;

3) $\log_5(x + 3) - \log_5(1 - x) = \log_5(2x + 3)$;

4) $\log_2(4 \cdot 3^x - 6) - \log_2(9^x - 6) = 1$;

5) $2\log_4(4 - x) = 4 - \log_2(-2 - x)$;

6) $1 - \lg 5 = \lg(x - 3) - \frac{1}{2}\lg(3x - 2)$;

7) $2\log_7(x - 2) = \log_7(x - 10)^2 - 2$.

1) $log_3(x + 1) + log_3(x + 3) = 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > -3 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > -1$.

Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$:

$log_3((x + 1)(x + 3)) = 1$

По определению логарифма ($log_a(b) = c \iff a^c = b$):

$(x + 1)(x + 3) = 3^1$

$x^2 + 3x + x + 3 = 3$

$x^2 + 4x = 0$

$x(x + 4) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > -1$):

• $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 > -1$.
• $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $-4 > -1$. Это посторонний корень.

Ответ: $0$

2) $log_4(x - 2) = 1 - log_4(x + 1)$

Перенесем логарифм в левую часть:

$log_4(x - 2) + log_4(x + 1) = 1$

ОДЗ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечение: $x > 2$.

Применяем свойство суммы логарифмов:

$log_4((x - 2)(x + 1)) = 1$

По определению логарифма:

$(x - 2)(x + 1) = 4^1$

$x^2 + x - 2x - 2 = 4$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решаем квадратное уравнение по теореме Виета:

$x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$):

• $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 > 2$.
• $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 > 2$. Это посторонний корень.

Ответ: $3$

3) $log_5(x + 3) - log_5(1 - x) = log_5(2x + 3)$

ОДЗ:

$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ 1 - x > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x < 1 \\ x > -1.5 \end{cases}$

Пересечение: $-1.5 < x < 1$.

Используем свойство разности логарифмов $log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)$:

$log_5(\frac{x + 3}{1 - x}) = log_5(2x + 3)$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$\frac{x + 3}{1 - x} = 2x + 3$

$x + 3 = (2x + 3)(1 - x)$

$x + 3 = 2x - 2x^2 + 3 - 3x$

$x + 3 = -2x^2 - x + 3$

$2x^2 + 2x = 0$

$2x(x + 1) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($-1.5 < x < 1$):

• $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $-1.5 < 0 < 1$.
• $x_2 = -1$ удовлетворяет условию $-1.5 < -1 < 1$.

Оба корня подходят.

Ответ: $-1; 0$

4) $log_2(4 \cdot 3^x - 6) - log_2(9^x - 6) = 1$

ОДЗ:

$\begin{cases} 4 \cdot 3^x - 6 > 0 \\ 9^x - 6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3^x > 1.5 \\ (3^x)^2 > 6 \end{cases} \implies \begin{cases} 3^x > 1.5 \\ 3^x > \sqrt{6} \end{cases}$

Так как $\sqrt{6} \approx 2.45$, а $2.45 > 1.5$, то ОДЗ: $3^x > \sqrt{6}$.

Используем свойство разности логарифмов:

$log_2(\frac{4 \cdot 3^x - 6}{9^x - 6}) = 1$

По определению логарифма:

$\frac{4 \cdot 3^x - 6}{9^x - 6} = 2^1$

$4 \cdot 3^x - 6 = 2(9^x - 6)$

Сделаем замену $y = 3^x$ (где $y > 0$):

$4y - 6 = 2(y^2 - 6)$

$4y - 6 = 2y^2 - 12$

$2y^2 - 4y - 6 = 0$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

По теореме Виета: $y_1 = 3$, $y_2 = -1$.

Корень $y_2 = -1$ не подходит, так как $y = 3^x > 0$.

Возвращаемся к замене: $3^x = 3 \implies x = 1$.

Проверяем корень на соответствие ОДЗ ($3^x > \sqrt{6}$):

$3^1 > \sqrt{6} \implies 3 > \sqrt{6} \implies 9 > 6$. Верно.

Ответ: $1$

5) $2log_4(4 - x) = 4 - log_2(-2 - x)$

ОДЗ:

$\begin{cases} 4 - x > 0 \\ -2 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 4 \\ x < -2 \end{cases}$

Пересечение: $x < -2$.

Приведем логарифмы к одному основанию 2, используя формулу $log_{a^k}(b) = \frac{1}{k}log_a(b)$:

$2log_{2^2}(4 - x) = 4 - log_2(-2 - x)$

$2 \cdot \frac{1}{2}log_2(4 - x) = 4 - log_2(-2 - x)$

$log_2(4 - x) + log_2(-2 - x) = 4$

Применяем свойство суммы логарифмов:

$log_2((4 - x)(-2 - x)) = 4$

По определению логарифма:

$(4 - x)(-2 - x) = 2^4$

$-8 - 4x + 2x + x^2 = 16$

$x^2 - 2x - 24 = 0$

По теореме Виета: $x_1 = 6$, $x_2 = -4$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x < -2$):

• $x_1 = 6$ не удовлетворяет условию $6 < -2$.
• $x_2 = -4$ удовлетворяет условию $-4 < -2$.

Ответ: $-4$

6) $1 - lg(5) = lg(x - 3) - \frac{1}{2}lg(3x - 2)$

ОДЗ:

$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ 3x - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x > 2/3 \end{cases}$

Пересечение: $x > 3$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов ($1 = lg(10)$, $lg(a) - lg(b) = lg(a/b)$, $n \cdot lg(a) = lg(a^n)$):

$lg(10) - lg(5) = lg(x - 3) - lg(\sqrt{3x - 2})$

$lg(\frac{10}{5}) = lg(\frac{x - 3}{\sqrt{3x - 2}})$

$lg(2) = lg(\frac{x - 3}{\sqrt{3x - 2}})$

Приравниваем аргументы:

$2 = \frac{x - 3}{\sqrt{3x - 2}}$

$2\sqrt{3x - 2} = x - 3$

Возводим обе части в квадрат. Отметим, что правая часть $x-3$ должна быть неотрицательной, что уже учтено в ОДЗ ($x>3$).

$4(3x - 2) = (x - 3)^2$

$12x - 8 = x^2 - 6x + 9$

$x^2 - 18x + 17 = 0$

По теореме Виета: $x_1 = 17$, $x_2 = 1$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$):

• $x_1 = 17$ удовлетворяет условию $17 > 3$.
• $x_2 = 1$ не удовлетворяет условию $1 > 3$.

Ответ: $17$

7) $2log_7(x - 2) = log_7(x - 10)^2 - 2$

ОДЗ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ (x - 10)^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x \ne 10 \end{cases}$

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов ($n \cdot log_a(b) = log_a(b^n)$, $k = log_a(a^k)$):

$log_7((x - 2)^2) = log_7((x - 10)^2) - log_7(7^2)$

$log_7((x - 2)^2) = log_7(\frac{(x - 10)^2}{49})$

Приравниваем аргументы:

$(x - 2)^2 = \frac{(x - 10)^2}{49}$

$49(x - 2)^2 = (x - 10)^2$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$7|x - 2| = |x - 10|$

Согласно ОДЗ $x > 2$, поэтому $x-2 > 0$ и $|x - 2| = x - 2$.

$7(x - 2) = |x - 10|$

Рассмотрим два случая:

1. Если $x - 10 \ge 0$, то есть $x \ge 10$ (что соответствует ОДЗ):

$7(x - 2) = x - 10$

$7x - 14 = x - 10$

$6x = 4 \implies x = 4/6 = 2/3$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 10$.

2. Если $x - 10 < 0$, то есть $2 < x < 10$ (что соответствует ОДЗ):

$7(x - 2) = -(x - 10)$

$7x - 14 = -x + 10$

$8x = 24 \implies x = 3$. Этот корень удовлетворяет условию $2 < x < 10$.

Ответ: $3$