Номер 46, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. При каких значениях $b$ уравнение $2\log_{\frac{1}{2}}(x+3) = \log_{\frac{1}{2}}2bx$ имеет единственный корень?

Исходное уравнение: $2\log_{\frac{1}{2}}(x+3) = \log_{\frac{1}{2}}2bx$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ 2bx > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x > -3$. Второе неравенство $2bx > 0$ зависит от знака параметра $b$.

1. Если $b > 0$, то $x > 0$. Система ОДЗ принимает вид: $\begin{cases} x > -3 \\ x > 0 \end{cases}$, что равносильно $x > 0$.

2. Если $b < 0$, то $x < 0$. Система ОДЗ принимает вид: $\begin{cases} x > -3 \\ x < 0 \end{cases}$, что равносильно $-3 < x < 0$.

3. Если $b = 0$, то неравенство $2 \cdot 0 \cdot x > 0$ превращается в $0 > 0$, что неверно. Следовательно, при $b=0$ уравнение не имеет решений, так как ОДЗ является пустым множеством.

Теперь преобразуем исходное уравнение. Используя свойство логарифма $n\log_a M = \log_a M^n$, получаем:

$\log_{\frac{1}{2}}(x+3)^2 = \log_{\frac{1}{2}}2bx$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$(x+3)^2 = 2bx$

$x^2 + 6x + 9 = 2bx$

$x^2 + (6 - 2b)x + 9 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Исходное логарифмическое уравнение будет иметь единственный корень, если это квадратное уравнение будет иметь единственный корень, удовлетворяющий ОДЗ.

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$D = (6 - 2b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 24b + 4b^2 - 36 = 4b^2 - 24b = 4b(b-6)$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака дискриминанта.

Случай 1: $D = 0$

Квадратное уравнение имеет один корень. Это происходит при $4b(b-6)=0$, то есть при $b=0$ или $b=6$.

- Как мы уже выяснили, при $b=0$ решений нет.

- При $b=6$, дискриминант $D=0$. Уравнение имеет единственный корень $x = -\frac{6-2b}{2} = b-3 = 6-3 = 3$. ОДЗ для $b=6$ (так как $b>0$) — это $x > 0$. Корень $x=3$ удовлетворяет этому условию, следовательно, $b=6$ является решением.

Случай 2: $D < 0$

Квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это происходит при $4b(b-6)<0$, то есть при $0 < b < 6$. В этом случае исходное уравнение также не имеет решений.

Случай 3: $D > 0$

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это происходит при $4b(b-6)>0$, то есть при $b < 0$ или $b > 6$. В этом случае, чтобы исходное уравнение имело единственный корень, ровно один из двух корней квадратного уравнения должен принадлежать ОДЗ.

Рассмотрим два подслучая.

Подслучай 3а: $b > 6$

ОДЗ в этом случае: $x > 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + (6-2b)x + 9 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -(6-2b) = 2b-6$ и $x_1 \cdot x_2 = 9$. Так как $x_1 \cdot x_2 = 9 > 0$, корни имеют одинаковый знак. Так как $b > 6$, то $2b > 12$, и $x_1 + x_2 = 2b-6 > 6 > 0$. Сумма корней положительна. Если произведение и сумма корней положительны, то оба корня $x_1$ и $x_2$ положительны. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x>0$). Следовательно, при $b>6$ исходное уравнение имеет два различных корня. Этот случай нам не подходит.

Подслучай 3б: $b < 0$

ОДЗ в этом случае: $-3 < x < 0$. По теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = 9 > 0$ (корни одного знака) и $x_1 + x_2 = 2b-6$. Так как $b < 0$, то $2b < 0$, и $x_1 + x_2 = 2b-6 < -6 < 0$. Сумма корней отрицательна. Если произведение корней положительно, а сумма отрицательна, то оба корня $x_1$ и $x_2$ отрицательны.

Теперь нам нужно, чтобы ровно один из этих двух отрицательных корней попал в интервал $(-3, 0)$. Пусть $f(x) = x^2 + (6-2b)x + 9$. График этой функции — парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x_1$ и $x_2$. Чтобы один корень был в интервале $(-3, 0)$, а другой — нет (т.е. был меньше или равен $-3$), необходимо и достаточно, чтобы значение функции в точке $x=-3$ было отрицательным или равным нулю (так как $f(0)=9>0$). Найдем $f(-3) = (-3)^2 + (6-2b)(-3) + 9 = 9 - 18 + 6b + 9 = 6b$. Условие $f(-3) \leq 0$ дает нам $6b \leq 0$, то есть $b \leq 0$. Мы рассматриваем случай $b < 0$, что полностью удовлетворяет условию $b \leq 0$. При $b<0$ имеем $f(-3) = 6b < 0$. Это означает, что точка $x=-3$ находится между корнями $x_1$ и $x_2$. Так как оба корня отрицательны, то один из них меньше $-3$, а другой — в интервале $(-3, 0)$. Таким образом, при $b < 0$ ровно один корень квадратного уравнения попадает в ОДЗ. Следовательно, при всех $b < 0$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Объединяя все полученные результаты, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $b=6$ и при $b < 0$.

Ответ: $b \in (-\infty, 0) \cup \{6\}$.