Номер 40, страница 10 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. Решите уравнение:

1) $\log_{12}(5x - 6) = \log_{12}(x + 2);$

2) $\log_{0,6}(3x - 4) = \log_{0,6}(2x - 3);$

3) $\log_{8}(x^2 - 7x + 4) = \log_{8}(x - 3);$

4) $2\log_{5}(-x) = \log_{5}(6x + 16).$

1) $ \log_{12}(5x - 6) = \log_{12}(x + 2) $

Данное логарифмическое уравнение эквивалентно системе:

$ \begin{cases} 5x - 6 = x + 2 \\ 5x - 6 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$ 5x - x = 2 + 6 $

$ 4x = 8 $

$ x = 2 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $ x=2 $ условиям (области допустимых значений):

$ 5(2) - 6 = 10 - 6 = 4 > 0 $

$ 2 + 2 = 4 > 0 $

Оба условия выполняются, следовательно, $ x=2 $ является корнем уравнения.

Ответ: 2

2) $ \log_{0,6}(3x - 4) = \log_{0,6}(2x - 3) $

Приравняем выражения под знаками логарифмов, учитывая область допустимых значений (ОДЗ), где оба выражения строго больше нуля.

$ \begin{cases} 3x - 4 = 2x - 3 \\ 3x - 4 > 0 \\ 2x - 3 > 0 \end{cases} $

Решим уравнение:

$ 3x - 2x = 4 - 3 $

$ x = 1 $

Теперь проверим выполнение условий ОДЗ для $ x=1 $:

$ 3(1) - 4 = 3 - 4 = -1 $. Условие $ -1 > 0 $ не выполняется.

Так как найденный корень не входит в область допустимых значений, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет

3) $ \log_{8}(x^2 - 7x + 4) = \log_{8}(x - 3) $

Уравнение равносильно системе, в которой выражения под логарифмами равны и положительны:

$ \begin{cases} x^2 - 7x + 4 = x - 3 \\ x - 3 > 0 \end{cases} $

Достаточно проверить только одно условие $ x - 3 > 0 $, так как из равенства будет следовать, что и второе выражение $ x^2 - 7x + 4 $ также будет положительным.

Решим уравнение:

$ x^2 - 7x - x + 4 + 3 = 0 $

$ x^2 - 8x + 7 = 0 $

По теореме Виета находим корни:

$ x_1 = 1 $, $ x_2 = 7 $

Проверим найденные корни на соответствие условию ОДЗ $ x > 3 $:

Для $ x_1 = 1 $: $ 1 > 3 $ (неверно). Этот корень является посторонним.

Для $ x_2 = 7 $: $ 7 > 3 $ (верно). Этот корень подходит.

Ответ: 7

4) $ 2\log_{5}(-x) = \log_{5}(6x + 16) $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:

$ \begin{cases} -x > 0 \\ 6x + 16 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ 6x > -16 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x > -\frac{16}{6} \end{cases} \implies -\frac{8}{3} < x < 0 $

Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя свойство логарифма $ n \log_a b = \log_a b^n $:

$ \log_{5}((-x)^2) = \log_{5}(6x + 16) $

$ \log_{5}(x^2) = \log_{5}(6x + 16) $

Приравняем выражения под знаками логарифмов:

$ x^2 = 6x + 16 $

$ x^2 - 6x - 16 = 0 $

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 $

$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 10}{2} = -2 $

$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 10}{2} = 8 $

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($ -\frac{8}{3} < x < 0 $):

Корень $ x_1 = -2 $ удовлетворяет условию, так как $ -\frac{8}{3} \approx -2.67 $, и $ -2.67 < -2 < 0 $.

Корень $ x_2 = 8 $ не удовлетворяет условию $ x < 0 $, поэтому является посторонним.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: -2