Номер 38, страница 10 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. Постройте график функции:

1) $y = \log_3 (x - 2)$;

2) $y = \log_3 x - 2$;

3) $y = -\log_3 x$;

4) $y = \log_3 (-x)$;

5) $y = \left|\log_{\frac{1}{3}} x\right|$;

6) $y = \log_{\frac{1}{3}} |x|$.

1) $y = \log_3(x - 2)$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \log_3 x$ с помощью параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Найдём основные характеристики функции.

Область определения: аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x - 2 > 0$, откуда $x > 2$. Таким образом, $D(y) = (2; +\infty)$.

Вертикальная асимптота: прямая $x = 2$.

Точка пересечения с осью Ox (когда $y=0$): $\log_3(x - 2) = 0 \Rightarrow x - 2 = 3^0 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$. Точка пересечения — $(3, 0)$.

Для точности построения найдем еще одну точку. Например, при $x = 5$: $y = \log_3(5 - 2) = \log_3 3 = 1$. Точка на графике — $(5, 1)$.

Ответ: График функции $y = \log_3(x - 2)$ — это стандартная возрастающая логарифмическая кривая, сдвинутая на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота $x=2$. График проходит через точки $(3, 0)$ и $(5, 1)$.

2) $y = \log_3 x - 2$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \log_3 x$ с помощью параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Найдём основные характеристики функции.

Область определения: $x > 0$. Таким образом, $D(y) = (0; +\infty)$.

Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось Oy).

Точка пересечения с осью Ox (когда $y=0$): $\log_3 x - 2 = 0 \Rightarrow \log_3 x = 2 \Rightarrow x = 3^2 = 9$. Точка пересечения — $(9, 0)$.

Для точности построения найдем еще одну точку. Например, при $x = 1$: $y = \log_3 1 - 2 = 0 - 2 = -2$. Точка на графике — $(1, -2)$. При $x=3$: $y = \log_3 3 - 2 = 1-2 = -1$. Точка на графике — $(3, -1)$.

Ответ: График функции $y = \log_3 x - 2$ — это стандартная возрастающая логарифмическая кривая, сдвинутая на 2 единицы вниз. Вертикальная асимптота $x=0$. График проходит через точки $(1, -2)$, $(3, -1)$ и $(9, 0)$.

3) $y = -\log_3 x$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \log_3 x$ с помощью симметричного отражения относительно оси Ox.

Найдём основные характеристики функции.

Область определения: $x > 0$. Таким образом, $D(y) = (0; +\infty)$.

Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось Oy).

Точка пересечения с осью Ox (когда $y=0$): $-\log_3 x = 0 \Rightarrow \log_3 x = 0 \Rightarrow x = 3^0 = 1$. Точка пересечения — $(1, 0)$.

Так как исходная функция $y=\log_3 x$ возрастающая, то после отражения функция $y=-\log_3 x$ становится убывающей.

Контрольная точка: при $x=3$: $y = -\log_3 3 = -1$. Точка на графике — $(3, -1)$.

Ответ: График функции $y = -\log_3 x$ — это убывающая логарифмическая кривая, симметричная графику $y = \log_3 x$ относительно оси Ox. Вертикальная асимптота $x=0$. График проходит через точки $(1, 0)$ и $(3, -1)$.

4) $y = \log_3(-x)$

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \log_3 x$ с помощью симметричного отражения относительно оси Oy.

Найдём основные характеристики функции.

Область определения: $-x > 0$, откуда $x < 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0)$.

Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось Oy).

Точка пересечения с осью Ox (когда $y=0$): $\log_3(-x) = 0 \Rightarrow -x = 3^0 \Rightarrow -x = 1 \Rightarrow x = -1$. Точка пересечения — $(-1, 0)$.

Контрольная точка: при $x=-3$: $y = \log_3(-(-3)) = \log_3 3 = 1$. Точка на графике — $(-3, 1)$.

Ответ: График функции $y = \log_3(-x)$ — это возрастающая логарифмическая кривая, симметричная графику $y = \log_3 x$ относительно оси Oy. Вертикальная асимптота $x=0$. График проходит через точки $(-1, 0)$ и $(-3, 1)$ и расположен в левой полуплоскости.

5) $y = |\log_{\frac{1}{3}} x|$

Для построения этого графика сначала построим график функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Так как основание логарифма $1/3 < 1$, эта функция является убывающей. Затем применим преобразование модуля: часть графика, расположенную ниже оси Ox ($y<0$), симметрично отразим вверх относительно оси Ox. Часть графика, расположенная выше оси Ox ($y \ge 0$), останется без изменений.

Найдём основные характеристики функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$:

Область определения: $x > 0$.

Вертикальная асимптота: $x = 0$.

Точка пересечения с осью Ox: $x = 1$. Точка $(1,0)$.

Значения: $y > 0$ при $0 < x < 1$; $y < 0$ при $x > 1$.

Применяя модуль, получаем график $y = |\log_{\frac{1}{3}} x|$:

Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.

Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

Точка пересечения (касания) с осью Ox: $(1, 0)$. В этой точке график имеет излом.

Контрольные точки: при $x = 1/3, y = |\log_{\frac{1}{3}}(1/3)| = |1| = 1$. Точка $(1/3, 1)$. При $x = 3, y = |\log_{\frac{1}{3}} 3| = |-1| = 1$. Точка $(3, 1)$.

Ответ: График состоит из двух частей, сходящихся в точке $(1,0)$. На интервале $(0, 1)$ он совпадает с графиком убывающей функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. На интервале $(1, +\infty)$ он является отражением графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ относительно оси Ox и представляет собой возрастающую кривую.

6) $y = \log_{\frac{1}{3}}|x|$

Для построения этого графика сначала построим график функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ для $x > 0$. Затем, так как функция $y = \log_{\frac{1}{3}}|x|$ является чётной ($f(-x) = \log_{\frac{1}{3}}|-x| = \log_{\frac{1}{3}}|x| = f(x)$), ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому мы отражаем построенную для $x>0$ часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x<0$.

Найдём основные характеристики функции.

Область определения: $|x| > 0$, что означает $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось Oy).

Точки пересечения с осью Ox (когда $y=0$): $\log_{\frac{1}{3}}|x| = 0 \Rightarrow |x| = (1/3)^0 \Rightarrow |x| = 1 \Rightarrow x = 1$ или $x = -1$. Точки пересечения — $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Контрольные точки: для $x>0$ имеем $(1/3, 1)$ и $(3, -1)$. В силу симметрии для $x<0$ имеем точки $(-1/3, 1)$ и $(-3, -1)$.

Ответ: График функции состоит из двух симметричных относительно оси Oy ветвей. Правая ветвь ($x>0$) совпадает с графиком $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Левая ветвь ($x<0$) является ее зеркальным отражением. Вертикальная асимптота $x=0$. График пересекает ось Ox в точках $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.