Номер 31, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. Сравните:

1) $\log_7 8$ и $\log_7 10$;

2) $\log_{\frac{1}{3}} 6$ и $\log_{\frac{1}{3}} 5$;

3) $\log_3 12$ и $2$;

4) $\log_{\frac{1}{25}} 4$ и $-\frac{1}{2}$.

1) Для сравнения $log_7 8$ и $log_7 10$ рассмотрим свойства логарифмической функции $y = log_a x$.
В данном случае основание логарифма $a = 7$. Так как $a > 1$, функция $y = log_7 x$ является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $log_7 x_1 < log_7 x_2$.
Сравним аргументы логарифмов: $8$ и $10$.
Поскольку $8 < 10$, то и $log_7 8 < log_7 10$.
Ответ: $log_7 8 < log_7 10$.

2) Для сравнения $log_{\frac{1}{3}} 6$ и $log_{\frac{1}{3}} 5$ рассмотрим свойства логарифмической функции.
Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, функция $y = log_{\frac{1}{3}} x$ является убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $log_{\frac{1}{3}} x_1 > log_{\frac{1}{3}} x_2$.
Сравним аргументы логарифмов: $6$ и $5$.
Поскольку $6 > 5$, то для убывающей функции выполняется обратное неравенство: $log_{\frac{1}{3}} 6 < log_{\frac{1}{3}} 5$.
Ответ: $log_{\frac{1}{3}} 6 < log_{\frac{1}{3}} 5$.

3) Для сравнения $log_3 12$ и $2$ представим число $2$ в виде логарифма с основанием $3$.
По определению логарифма $b = log_a a^b$, поэтому $2 = log_3 3^2 = log_3 9$.
Теперь задача сводится к сравнению двух логарифмов с одинаковым основанием: $log_3 12$ и $log_3 9$.
Основание логарифма $a = 3$, то есть $a > 1$. Следовательно, функция $y = log_3 x$ является возрастающей.
Сравним аргументы: $12$ и $9$.
Поскольку $12 > 9$, то $log_3 12 > log_3 9$.
Таким образом, $log_3 12 > 2$.
Ответ: $log_3 12 > 2$.

4) Для сравнения $log_{\frac{1}{25}} 4$ и $-\frac{1}{2}$ представим число $-\frac{1}{2}$ в виде логарифма с основанием $\frac{1}{25}$.
По определению логарифма, $-\frac{1}{2} = log_{\frac{1}{25}} \left(\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}}\right)$.
Упростим выражение в аргументе логарифма:
$\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} = (25^{-1})^{-\frac{1}{2}} = 25^{(-1) \cdot (-\frac{1}{2})} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$.
Таким образом, $-\frac{1}{2} = log_{\frac{1}{25}} 5$.
Теперь сравним $log_{\frac{1}{25}} 4$ и $log_{\frac{1}{25}} 5$.
Основание логарифма $a = \frac{1}{25}$, то есть $0 < a < 1$. Следовательно, функция $y = log_{\frac{1}{25}} x$ является убывающей.
Сравним аргументы: $4$ и $5$.
Поскольку $4 < 5$, для убывающей функции выполняется обратное неравенство: $log_{\frac{1}{25}} 4 > log_{\frac{1}{25}} 5$.
Таким образом, $log_{\frac{1}{25}} 4 > -\frac{1}{2}$.
Ответ: $log_{\frac{1}{25}} 4 > -\frac{1}{2}$.