Номер 27, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

27. Найдите значение выражения:

1) $\left(\log_2 12 - \log_2 3 + 9^{\log_9 8}\right)^{\lg 3}$;

2) $\frac{2\log_3 4 + \log_3 0.5}{\log_3 6 - \log_3 12}$

1) $(\log_2 12 - \log_2 3 + 9^{\log_9 8})^{\lg 3}$

Для решения этого выражения, упростим сначала выражение в скобках. Воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.

$\log_2 12 - \log_2 3 = \log_2 \frac{12}{3} = \log_2 4$.

Так как $2^2 = 4$, то $\log_2 4 = 2$.

2. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:

$9^{\log_9 8} = 8$.

3. Теперь подставим полученные значения обратно в выражение в скобках:

$2 + 8 = 10$.

4. В итоге исходное выражение принимает вид:

$10^{\lg 3}$.

Десятичный логарифм $\lg 3$ — это логарифм по основанию 10, то есть $\log_{10} 3$. Снова применяем основное логарифмическое тождество:

$10^{\log_{10} 3} = 3$.

Ответ: 3

2) $\frac{2\log_3 4 + \log_3 0,5}{\log_3 6 - \log_3 12}$

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя свойства логарифмов.

1. Упростим числитель: $2\log_3 4 + \log_3 0,5$.

Используем свойство $c \log_a b = \log_a (b^c)$:

$2\log_3 4 = \log_3 (4^2) = \log_3 16$.

Теперь используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:

$\log_3 16 + \log_3 0,5 = \log_3 (16 \cdot 0,5) = \log_3 8$.

2. Упростим знаменатель: $\log_3 6 - \log_3 12$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_3 6 - \log_3 12 = \log_3 \frac{6}{12} = \log_3 \frac{1}{2}$.

3. Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$\frac{\log_3 8}{\log_3 \frac{1}{2}}$.

Представим 8 как $2^3$ и $\frac{1}{2}$ как $2^{-1}$:

$\frac{\log_3 (2^3)}{\log_3 (2^{-1})}$.

Воспользуемся свойством $\log_a (b^c) = c \log_a b$ для числителя и знаменателя:

$\frac{3 \log_3 2}{-1 \cdot \log_3 2} = \frac{3 \log_3 2}{-\log_3 2}$.

Сократим общий множитель $\log_3 2$:

$\frac{3}{-1} = -3$.

Ответ: -3