Номер 24, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. Найдите значение выражения:

1) $log_{1/3} log_2 512;$

2) $log_9 \cot \frac{\pi}{6};$

3) $log_2 32 - log_{21} \sqrt{21} - 3log_4 \frac{1}{64};$

4) $log_{18} 36 + log_{18} 9;$

5) $log_5 250 - log_5 2;$

6) $\frac{lg 27}{lg 3};$

7) $log_{64} \sqrt[3]{2};$

8) $10^{2lg 7};$

9) $27^{1-log_3 4};$

10) $5^{\frac{4}{log_3 5}}.$

1) $\log_{\frac{1}{3}} \log_2 512$

Сначала найдем значение внутреннего логарифма $\log_2 512$.
Поскольку $512 = 2^9$, то $\log_2 512 = \log_2 2^9 = 9$.
Теперь исходное выражение принимает вид $\log_{\frac{1}{3}} 9$.
Представим основание и аргумент логарифма в виде степени числа 3:
$\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $9 = 3^2$.
Используем свойство логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:
$\log_{\frac{1}{3}} 9 = \log_{3^{-1}} 3^2 = \frac{2}{-1} \log_3 3 = -2 \cdot 1 = -2$.
Ответ: -2

2) $\log_9 \ctg \frac{\pi}{6}$

Сначала найдем значение $\ctg \frac{\pi}{6}$.
Угол $\frac{\pi}{6}$ радиан равен $30^\circ$.
$\ctg \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.
Теперь выражение принимает вид $\log_9 \sqrt{3}$.
Представим основание и аргумент логарифма в виде степени числа 3:
$9 = 3^2$ и $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Используем свойство логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:
$\log_9 \sqrt{3} = \log_{3^2} 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1/2}{2} \log_3 3 = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

3) $\log_2 32 - \log_{21} \sqrt{21} - 3\log_4 \frac{1}{64}$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:
1) $\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$.
2) $\log_{21} \sqrt{21} = \log_{21} 21^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.
3) $3\log_4 \frac{1}{64} = 3\log_4 4^{-3} = 3 \cdot (-3) = -9$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$5 - \frac{1}{2} - (-9) = 5 - 0.5 + 9 = 13.5$.
Ответ: 13.5

4) $\log_{18} 36 + \log_{18} 9$

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.
$\log_{18} 36 + \log_{18} 9 = \log_{18} (36 \cdot 9) = \log_{18} 324$.
Поскольку $18^2 = 324$, то $\log_{18} 324 = \log_{18} 18^2 = 2$.
Ответ: 2

5) $\log_5 250 - \log_5 2$

Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.
$\log_5 250 - \log_5 2 = \log_5 (\frac{250}{2}) = \log_5 125$.
Поскольку $125 = 5^3$, то $\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$.
Ответ: 3

6) $\frac{\lg 27}{\lg 3}$

Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. В данном случае мы можем перейти от основания 10 к основанию 3.
$\frac{\lg 27}{\lg 3} = \frac{\log_{10} 27}{\log_{10} 3} = \log_3 27$.
Поскольку $27 = 3^3$, то $\log_3 27 = 3$.
Альтернативный способ: $\lg 27 = \lg (3^3) = 3 \lg 3$. Тогда $\frac{\lg 27}{\lg 3} = \frac{3 \lg 3}{\lg 3} = 3$.
Ответ: 3

7) $\log_{64} \sqrt[3]{2}$

Представим основание и аргумент логарифма в виде степени числа 2:
$64 = 2^6$ и $\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$.
Используем свойство логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:
$\log_{64} \sqrt[3]{2} = \log_{2^6} 2^{\frac{1}{3}} = \frac{1/3}{6} \log_2 2 = \frac{1}{18} \cdot 1 = \frac{1}{18}$.
Ответ: $\frac{1}{18}$

8) $10^{2\lg 7}$

Используем свойство степени логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$:
$2\lg 7 = \lg 7^2 = \lg 49$.
Теперь выражение принимает вид $10^{\lg 49}$.
Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Так как $\lg$ — это логарифм по основанию 10:
$10^{\lg 49} = 10^{\log_{10} 49} = 49$.
Ответ: 49

9) $27^{1-\log_3 4}$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$27^{1-\log_3 4} = \frac{27^1}{27^{\log_3 4}}$.
Упростим знаменатель. Представим 27 как $3^3$:
$27^{\log_3 4} = (3^3)^{\log_3 4} = 3^{3 \cdot \log_3 4}$.
Используем свойство $n \log_a b = \log_a b^n$:
$3^{3 \log_3 4} = 3^{\log_3 4^3} = 3^{\log_3 64}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 64} = 64$.
Тогда исходное выражение равно $\frac{27}{64}$.
Ответ: $\frac{27}{64}$

10) $5^{\frac{4}{\log_3 5}}$

Преобразуем показатель степени. Используем свойство логарифма $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$:
$\frac{4}{\log_3 5} = 4 \cdot \frac{1}{\log_3 5} = 4 \cdot \log_5 3$.
Теперь выражение принимает вид $5^{4 \log_5 3}$.
Используем свойство $n \log_a b = \log_a b^n$:
$5^{4 \log_5 3} = 5^{\log_5 3^4} = 5^{\log_5 81}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 81} = 81$.
Ответ: 81