Номер 22, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

22. Решите неравенство:

1) $2^{2x+1} - 5 \cdot 6^x + 3^{2x+1} \ge 0;$

2) $5 \cdot 25^{-\frac{1}{x}} + 3 \cdot 10^{-\frac{1}{x}} < 2 \cdot 4^{-\frac{1}{x}}.$

1) $2^{2x+1} - 5 \cdot 6^x + 3^{2x+1} \ge 0$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$2 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 3 \cdot 3^{2x} \ge 0$

$2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 3 \cdot (3^x)^2 \ge 0$

Это однородное показательное неравенство. Поскольку $3^{2x} = 9^x > 0$ для любого $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $3^{2x}$, не меняя знака неравенства:

$2 \cdot \frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} - 5 \cdot \frac{2^x \cdot 3^x}{3^x \cdot 3^x} + 3 \cdot \frac{(3^x)^2}{(3^x)^2} \ge 0$

$2 \cdot (\frac{2}{3})^{2x} - 5 \cdot (\frac{2}{3})^x + 3 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{2}{3})^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$2t^2 - 5t + 3 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2t^2 - 5t + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Корни: $t_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$, $t_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Парабола $y = 2t^2 - 5t + 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $2t^2 - 5t + 3 \ge 0$ выполняется при $t \le 1$ или $t \ge \frac{3}{2}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем совокупность:

$\left[ \begin{gathered} 0 < t \le 1, \\ t \ge \frac{3}{2} \end{gathered} \right.$

Вернемся к переменной $x$:

1. $0 < (\frac{2}{3})^x \le 1$. Так как $(\frac{2}{3})^x > 0$ всегда, решаем $(\frac{2}{3})^x \le 1$.

$(\frac{2}{3})^x \le (\frac{2}{3})^0$.

Основание степени $\frac{2}{3} < 1$, поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge 0$.

2. $(\frac{2}{3})^x \ge \frac{3}{2}$.

$(\frac{2}{3})^x \ge (\frac{2}{3})^{-1}$.

Основание степени $\frac{2}{3} < 1$, поэтому знак неравенства меняется:

$x \le -1$.

Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$.

2) $5 \cdot 25^{-\frac{1}{x}} + 3 \cdot 10^{-\frac{1}{x}} < 2 \cdot 4^{-\frac{1}{x}}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Представим основания степеней через простые множители 2 и 5:

$5 \cdot (5^2)^{-\frac{1}{x}} + 3 \cdot (2 \cdot 5)^{-\frac{1}{x}} < 2 \cdot (2^2)^{-\frac{1}{x}}$

$5 \cdot 5^{-\frac{2}{x}} + 3 \cdot 2^{-\frac{1}{x}} \cdot 5^{-\frac{1}{x}} - 2 \cdot 2^{-\frac{2}{x}} < 0$

$5 \cdot (5^{-\frac{1}{x}})^2 + 3 \cdot 2^{-\frac{1}{x}} \cdot 5^{-\frac{1}{x}} - 2 \cdot (2^{-\frac{1}{x}})^2 < 0$

Это однородное показательное неравенство. Разделим обе части на $(2^{-\frac{1}{x}})^2 = 4^{-\frac{1}{x}}$. Это выражение всегда положительно, поэтому знак неравенства не изменится.

$5 \cdot \frac{(5^{-\frac{1}{x}})^2}{(2^{-\frac{1}{x}})^2} + 3 \cdot \frac{2^{-\frac{1}{x}} \cdot 5^{-\frac{1}{x}}}{(2^{-\frac{1}{x}})^2} - 2 < 0$

$5 \cdot ((\frac{5}{2})^{-\frac{1}{x}})^2 + 3 \cdot (\frac{5}{2})^{-\frac{1}{x}} - 2 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{5}{2})^{-\frac{1}{x}}$. Условие $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$5t^2 + 3t - 2 < 0$

Найдем корни уравнения $5t^2 + 3t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$.

Корни: $t_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$, $t_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Парабола $y = 5t^2 + 3t - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $5t^2 + 3t - 2 < 0$ выполняется при $-1 < t < \frac{2}{5}$.

Учитывая, что $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{2}{5}$.

Вернемся к переменной $x$:

$0 < (\frac{5}{2})^{-\frac{1}{x}} < \frac{2}{5}$.

Левая часть неравенства выполняется всегда. Решаем правую часть:

$(\frac{5}{2})^{-\frac{1}{x}} < \frac{2}{5}$

$(\frac{5}{2})^{-\frac{1}{x}} < (\frac{5}{2})^{-1}$

Основание степени $\frac{5}{2} > 1$, поэтому при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

$-\frac{1}{x} < -1$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{1}{x} > 1$

$\frac{1}{x} - 1 > 0$

$\frac{1 - x}{x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=0$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, \infty)$. Проверяя знак выражения $\frac{1-x}{x}$ в каждом интервале, находим, что оно положительно при $x \in (0, 1)$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$).

Ответ: $(0, 1)$.