Номер 21, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Решите неравенство:

1) $12^x - 2 \cdot 6^x - 36 \cdot 2^x + 72 \leq 0$;

2) $\frac{0,3^x - 0,0081}{7 - x} \geq 0$.

1) $12^x - 2 \cdot 6^x - 36 \cdot 2^x + 72 \le 0$

Преобразуем левую часть неравенства, представив $12^x$ как $2^x \cdot 6^x$, и сгруппируем слагаемые:

$(2^x \cdot 6^x - 2 \cdot 6^x) - (36 \cdot 2^x - 72) \le 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$6^x(2^x - 2) - 36(2^x - 2) \le 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(2^x - 2)$:

$(6^x - 36)(2^x - 2) \le 0$

Решим данное неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни выражений в скобках, приравняв их к нулю:

1) $6^x - 36 = 0 \implies 6^x = 36 \implies 6^x = 6^2 \implies x = 2$.

2) $2^x - 2 = 0 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.

Нанесем точки $x=1$ и $x=2$ на числовую ось. Они разделят ее на три промежутка. Определим знак произведения $(6^x - 36)(2^x - 2)$ на каждом из них:

- При $x > 2$: оба множителя $(6^x - 36)$ и $(2^x - 2)$ положительны. Произведение имеет знак "+".

- При $1 < x < 2$: множитель $(6^x - 36)$ отрицателен (т.к. $x < 2$), а множитель $(2^x - 2)$ положителен (т.к. $x > 1$). Произведение имеет знак "-".

- При $x < 1$: оба множителя $(6^x - 36)$ и $(2^x - 2)$ отрицательны. Произведение имеет знак "+".

Поскольку знак неравенства "$\le$", нас интересует промежуток, где произведение отрицательно или равно нулю. Это промежуток $[1; 2]$.

Ответ: $x \in [1, 2]$.

2) $\frac{0,3^x - 0,0081}{7 - x} \ge 0$

Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} (0,3^x - 0,0081)(7-x) \ge 0, \\ 7-x \neq 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство методом рационализации. Заметим, что $0,0081 = (0,3)^4$. Тогда неравенство можно переписать в виде:

$(0,3^x - 0,3^4)(7-x) \ge 0$

Поскольку показательная функция с основанием $a=0,3$ ($0 < a < 1$) является убывающей, знак разности $(0,3^x - 0,3^4)$ противоположен знаку разности показателей $(x-4)$. Таким образом, мы можем заменить выражение $(0,3^x - 0,3^4)$ на $-(x-4)$, сохранив знак неравенства:

$-(x-4)(7-x) \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак на противоположный:

$(x-4)(7-x) \le 0$

Вынесем $-1$ из второй скобки:

$-(x-4)(x-7) \le 0$

Снова умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:

$(x-4)(x-7) \ge 0$

Это квадратное неравенство. Его корни $x=4$ и $x=7$. Графиком функции $y=(x-4)(x-7)$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неотрицательны при $x \le 4$ и при $x \ge 7$.

Таким образом, решение этого неравенства: $(-\infty, 4] \cup [7, \infty)$.

Теперь учтем условие из системы, что $x \neq 7$. Исключая точку $x=7$ из полученного решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $(-\infty, 4] \cup (7, \infty)$.