Номер 15, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

15. При каких значениях $a$ уравнение $4^x - (a + 3) \cdot 2^x + 4a - 4 = 0$ имеет один действительный корень?

Данное уравнение $4^x - (a + 3) \cdot 2^x + 4a - 4 = 0$ можно переписать, заметив, что $4^x = (2^x)^2$:

$(2^x)^2 - (a + 3) \cdot 2^x + 4a - 4 = 0$

Введем замену переменной $t = 2^x$. Поскольку $x$ — действительное число, $t$ может быть любым положительным числом, то есть $t > 0$.

В результате замены получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - (a + 3)t + 4a - 4 = 0$

Исходное уравнение имеет один действительный корень тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет ровно один положительный корень.

Найдем корни этого квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = (-(a + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a - 4) = a^2 + 6a + 9 - 16a + 16 = a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2$.

Корни уравнения для $t$ можно найти по формуле:

$t = \frac{a + 3 \pm \sqrt{(a - 5)^2}}{2} = \frac{a + 3 \pm |a - 5|}{2}$

Рассмотрим два случая в зависимости от значения $a$.

Случай 1: $a \ge 5$

В этом случае $|a - 5| = a - 5$. Корни уравнения:

$t_1 = \frac{a + 3 + (a - 5)}{2} = \frac{2a - 2}{2} = a - 1$

$t_2 = \frac{a + 3 - (a - 5)}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Корень $t_2 = 4$ всегда положителен. Нам нужно, чтобы был только один положительный корень. Это возможно, если:

а) Корни совпадают, то есть $t_1 = t_2$.

$a - 1 = 4 \implies a = 5$. В этом случае мы имеем один корень $t = 4$, который положителен. Следовательно, $a=5$ является решением.

б) Второй корень $t_1$ неположителен, то есть $a-1 \le 0 \implies a \le 1$. Это условие противоречит предположению $a \ge 5$, поэтому в данном случае других решений нет.

Случай 2: $a < 5$

В этом случае $|a - 5| = -(a - 5) = 5 - a$. Корни уравнения:

$t_1 = \frac{a + 3 + (5 - a)}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$t_2 = \frac{a + 3 - (5 - a)}{2} = \frac{2a - 2}{2} = a - 1$

Один корень $t_1 = 4$ всегда положителен. Чтобы был ровно один положительный корень, второй корень $t_2$ должен быть неположительным ($t_2 \le 0$).

$a - 1 \le 0 \implies a \le 1$.

Это условие ($a \le 1$) не противоречит предположению $a < 5$. Следовательно, все значения $a$ из промежутка $(-\infty, 1]$ являются решениями.

Объединяя результаты из обоих случаев, получаем, что исходное уравнение имеет один действительный корень при $a \in (-\infty, 1] \cup \{5\}$.

Ответ: $a \in (-\infty, 1] \cup \{5\}$.