Номер 14, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

14. Решите уравнение:

1) $2^x = 3 - x;$

2) $3^{x-3} + 4^{x-3} = 25;$

3) $2^{\cos x} = x^2 + 2.$

1) $2^x = 3 - x$

Рассмотрим две функции: $y_1 = 2^x$ и $y_2 = 3 - x$.

Функция $y_1 = 2^x$ является показательной с основанием больше 1, следовательно, она строго возрастает на всей области определения.

Функция $y_2 = 3 - x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом, следовательно, она строго убывает на всей области определения.

Если одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, то они могут пересечься не более одного раза. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня.

Подберем корень. Попробуем подставить $x=1$:

Левая часть: $2^1 = 2$.

Правая часть: $3 - 1 = 2$.

Так как $2 = 2$, то $x=1$ является корнем уравнения.

Поскольку корень может быть только один, то $x=1$ — единственное решение.

Ответ: 1.

2) $3^{x-3} + 4^{x-3} = 25$

Введем замену переменной. Пусть $y = x - 3$. Тогда уравнение примет вид:

$3^y + 4^y = 25$

Рассмотрим функцию $f(y) = 3^y + 4^y$. Эта функция является суммой двух возрастающих показательных функций, поэтому она также строго возрастает на всей своей области определения.

Следовательно, уравнение $f(y) = 25$ может иметь не более одного корня.

Подберем корень. Попробуем подставить $y=2$:

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Так как $25 = 25$, то $y=2$ является корнем уравнения.

Поскольку это единственный корень, вернемся к исходной переменной:

$x - 3 = 2$

$x = 5$

Ответ: 5.

3) $2^{\cos x} = x^2 + 2$

Оценим значения левой и правой частей уравнения.

Для левой части: $2^{\cos x}$. Мы знаем, что область значений функции косинуса — $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.

Так как функция $y = 2^t$ является возрастающей, то $2^{-1} \le 2^{\cos x} \le 2^1$.

Таким образом, $\frac{1}{2} \le 2^{\cos x} \le 2$. Наибольшее значение левой части равно 2.

Для правой части: $x^2 + 2$. Мы знаем, что $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Следовательно, $x^2 + 2 \ge 2$. Наименьшее значение правой части равно 2.

Равенство $2^{\cos x} = x^2 + 2$ возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 2. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} 2^{\cos x} = 2 \\ x^2 + 2 = 2 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы:

$x^2 + 2 = 2$

$x^2 = 0$

$x = 0$

Теперь подставим найденное значение $x=0$ в первое уравнение системы, чтобы проверить, выполняется ли оно:

$2^{\cos 0} = 2^1 = 2$.

Равенство $2 = 2$ верно. Следовательно, $x=0$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: 0.