Номер 12, страница 5 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

12. Решите уравнение:

1) $2^{2x} - 10 \cdot 2^x + 16 = 0;$

2) $3 \cdot 81^x - 8 \cdot 9^x - 3 = 0;$

3) $2^{2x+6} + 2^{x+7} = 17;$

4) $49^{x-2} - 56 \cdot 7^{x-3} + 7 = 0;$

5) $\frac{9}{4^{x-1} - 1} - \frac{6}{4^{x-1} + 2} = 2;$

6) $3^x - 3^{2-x} - 8 = 0;$

7) $3^{\sin^2 x} + 3^{\cos^2 x} = 4;$

8) $\left(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\right)^x + \left(\sqrt{5-2\sqrt{6}}\right)^x = 10.$

1) $2^{2x} - 10 \cdot 2^x + 16 = 0$
Данное уравнение является показательным. Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 - 10t + 16 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 10, а произведение равно 16. Отсюда находим корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 8$.
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Выполним обратную замену:
1. Если $t = 2$, то $2^x = 2$. Отсюда $2^x = 2^1$, следовательно, $x = 1$.
2. Если $t = 8$, то $2^x = 8$. Отсюда $2^x = 2^3$, следовательно, $x = 3$.
Ответ: $1; 3$.

2) $3 \cdot 81^x - 8 \cdot 9^x - 3 = 0$
Приведем степени к одному основанию. Так как $81 = 9^2$, то $81^x = (9^2)^x = (9^x)^2$.
Уравнение принимает вид: $3 \cdot (9^x)^2 - 8 \cdot 9^x - 3 = 0$.
Сделаем замену $t = 9^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $3t^2 - 8t - 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.
Корни уравнения: $t = \frac{8 \pm 10}{2 \cdot 3}$.
$t_1 = \frac{18}{6} = 3$.
$t_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
Условию $t > 0$ удовлетворяет только корень $t_1 = 3$.
Вернемся к замене: $9^x = 3$.
$(3^2)^x = 3^1 \implies 3^{2x} = 3^1$.
$2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $0,5$.

3) $2^{2x+6} + 2^{x+7} = 17$
Используя свойства степеней, преобразуем уравнение:
$2^{2x} \cdot 2^6 + 2^x \cdot 2^7 = 17$
$64 \cdot (2^x)^2 + 128 \cdot 2^x - 17 = 0$
Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$.
$64t^2 + 128t - 17 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 128^2 - 4 \cdot 64 \cdot (-17) = 16384 + 4352 = 20736 = 144^2$.
Корни уравнения: $t = \frac{-128 \pm 144}{2 \cdot 64} = \frac{-128 \pm 144}{128}$.
$t_1 = \frac{-128 + 144}{128} = \frac{16}{128} = \frac{1}{8}$.
$t_2 = \frac{-128 - 144}{128} = \frac{-272}{128} < 0$.
Условию $t > 0$ удовлетворяет только $t_1 = \frac{1}{8}$.
Выполним обратную замену: $2^x = \frac{1}{8}$.
$2^x = 2^{-3} \implies x = -3$.
Ответ: $-3$.

4) $49^{x-2} - 56 \cdot 7^{x-3} + 7 = 0$
Преобразуем степени, чтобы выделить общий член. Заметим, что $49 = 7^2$.
$49^{x-2} = (7^2)^{x-2} = 7^{2(x-2)} = 7^{2x-4}$.
Чтобы привести к общему показателю $x-3$, представим $2x-4$ как $2(x-3)+2$.
$7^{2x-4} = 7^{2(x-3)+2} = 7^{2(x-3)} \cdot 7^2 = 49 \cdot (7^{x-3})^2$.
Уравнение принимает вид:
$49 \cdot (7^{x-3})^2 - 56 \cdot 7^{x-3} + 7 = 0$
Разделим обе части на 7: $7 \cdot (7^{x-3})^2 - 8 \cdot 7^{x-3} + 1 = 0$.
Сделаем замену $t = 7^{x-3}$, где $t > 0$.
$7t^2 - 8t + 1 = 0$
Корни этого квадратного уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{1}{7}$. Оба корня положительны.
Выполним обратную замену:
1. Если $t = 1$, то $7^{x-3} = 1$. Отсюда $7^{x-3} = 7^0$, следовательно, $x-3=0 \implies x=3$.
2. Если $t = \frac{1}{7}$, то $7^{x-3} = \frac{1}{7}$. Отсюда $7^{x-3} = 7^{-1}$, следовательно, $x-3=-1 \implies x=2$.
Ответ: $2; 3$.

5) $\frac{9}{4^{x-1}-1} - \frac{6}{4^{x-1}+2} = 2$
Сделаем замену $t = 4^{x-1}$. Так как $t$ - значение показательной функции, $t > 0$.
Также знаменатели не должны быть равны нулю: $t-1 \neq 0 \implies t \neq 1$.
Уравнение принимает вид: $\frac{9}{t-1} - \frac{6}{t+2} = 2$.
Приведем к общему знаменателю $(t-1)(t+2)$:
$9(t+2) - 6(t-1) = 2(t-1)(t+2)$
$9t + 18 - 6t + 6 = 2(t^2 + t - 2)$
$3t + 24 = 2t^2 + 2t - 4$
$2t^2 - t - 28 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-28) = 1 + 224 = 225 = 15^2$.
Корни: $t = \frac{1 \pm 15}{4}$.
$t_1 = \frac{1+15}{4} = 4$.
$t_2 = \frac{1-15}{4} = -3.5$.
Условиям $t > 0$ и $t \neq 1$ удовлетворяет только $t_1 = 4$.
Выполним обратную замену: $4^{x-1} = 4$.
$4^{x-1} = 4^1 \implies x-1 = 1 \implies x = 2$.
Ответ: $2$.

6) $3^x - 3^{2-x} - 8 = 0$
Преобразуем второй член: $3^{2-x} = 3^2 \cdot 3^{-x} = \frac{9}{3^x}$.
Уравнение принимает вид: $3^x - \frac{9}{3^x} - 8 = 0$.
Сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.
$t - \frac{9}{t} - 8 = 0$
Умножим обе части на $t$ (так как $t>0$, то $t \neq 0$):
$t^2 - 9 - 8t = 0 \implies t^2 - 8t - 9 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.
Условию $t > 0$ удовлетворяет только $t_1 = 9$.
Выполним обратную замену: $3^x = 9$.
$3^x = 3^2 \implies x = 2$.
Ответ: $2$.

7) $3^{\sin^2 x} + 3^{\cos^2 x} = 4$
Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
$3^{\sin^2 x} + 3^{1-\sin^2 x} = 4$
$3^{\sin^2 x} + \frac{3}{3^{\sin^2 x}} = 4$
Сделаем замену $t = 3^{\sin^2 x}$. Поскольку $0 \le \sin^2 x \le 1$, то $3^0 \le 3^{\sin^2 x} \le 3^1$, то есть $1 \le t \le 3$.
Уравнение принимает вид: $t + \frac{3}{t} = 4$.
$t^2 + 3 = 4t \implies t^2 - 4t + 3 = 0$.
Корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $1 \le t \le 3$.
Выполним обратную замену:
1. Если $t=1$, то $3^{\sin^2 x} = 1 = 3^0$. Отсюда $\sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. Если $t=3$, то $3^{\sin^2 x} = 3 = 3^1$. Отсюда $\sin^2 x = 1 \implies \sin x = \pm 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя обе серии решений, получаем $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

8) $(\sqrt{5+2\sqrt{6}})^x + (\sqrt{5-2\sqrt{6}})^x = 10$
Упростим выражения под корнем, выделив полный квадрат. $5+2\sqrt{6} = 3 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + 2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$.
$5-2\sqrt{6} = 3 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + 2 = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$.
Тогда $\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$.
И $\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$.
Уравнение принимает вид: $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x + (\sqrt{3}-\sqrt{2})^x = 10$.
Заметим, что $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3-2=1$. Отсюда $\sqrt{3}-\sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1}$.
Сделаем замену $t = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^x$, где $t > 0$.
Уравнение примет вид: $t + t^{-1} = 10 \implies t + \frac{1}{t} = 10$.
$t^2 - 10t + 1 = 0$.
Решим квадратное уравнение: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 96$. $\sqrt{D} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$.
$t = \frac{10 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6}$.
Оба корня положительны.
Выполним обратную замену:
1. $t = 5+2\sqrt{6}$. Тогда $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = 5+2\sqrt{6} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$. Отсюда $x=2$.
2. $t = 5-2\sqrt{6}$. Тогда $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = 5-2\sqrt{6} = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 = ((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1})^2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-2}$. Отсюда $x=-2$.
Ответ: $\pm 2$.