Номер 13, страница 6 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. Решите уравнение:

1) $6 \cdot 25^x - 5 \cdot 10^x - 4^x = 0;$

2) $64 \cdot 9^x - 84 \cdot 12^x + 27 \cdot 16^x = 0.$

1) $6 \cdot 25^x - 5 \cdot 10^x - 4^x = 0$

Это показательное уравнение. Преобразуем основания степеней:

$25 = 5^2$, $10 = 2 \cdot 5$, $4 = 2^2$.

Подставим эти значения в уравнение:

$6 \cdot (5^2)^x - 5 \cdot (2 \cdot 5)^x - (2^2)^x = 0$

$6 \cdot 5^{2x} - 5 \cdot 2^x \cdot 5^x - 2^{2x} = 0$

Это однородное показательное уравнение. Поскольку $4^x = 2^{2x} \neq 0$ при любом $x$, мы можем разделить все уравнение на $4^x$:

$\frac{6 \cdot 5^{2x}}{2^{2x}} - \frac{5 \cdot 2^x \cdot 5^x}{2^{2x}} - \frac{2^{2x}}{2^{2x}} = 0$

$6 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x - 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{5}{2}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного:

$6t^2 - 5t - 1 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

Корень $t_2 = -\frac{1}{6}$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к замене с $t_1 = 1$:

$\left(\frac{5}{2}\right)^x = 1$

Так как любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1, можем записать:

$\left(\frac{5}{2}\right)^x = \left(\frac{5}{2}\right)^0$

Отсюда следует, что $x=0$.

Ответ: 0

2) $64 \cdot 9^x - 84 \cdot 12^x + 27 \cdot 16^x = 0$

Это показательное уравнение. Преобразуем основания степеней:

$9 = 3^2$, $12 = 3 \cdot 4$, $16 = 4^2$.

Подставим эти значения в уравнение:

$64 \cdot (3^2)^x - 84 \cdot (3 \cdot 4)^x + 27 \cdot (4^2)^x = 0$

$64 \cdot 3^{2x} - 84 \cdot 3^x \cdot 4^x + 27 \cdot 4^{2x} = 0$

Это однородное показательное уравнение. Поскольку $16^x = 4^{2x} \neq 0$ при любом $x$, мы можем разделить все уравнение на $16^x$:

$\frac{64 \cdot 3^{2x}}{4^{2x}} - \frac{84 \cdot 3^x \cdot 4^x}{4^{2x}} + \frac{27 \cdot 4^{2x}}{4^{2x}} = 0$

$64 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} - 84 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 27 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \left(\frac{3}{4}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного:

$64y^2 - 84y + 27 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-84)^2 - 4 \cdot 64 \cdot 27 = 7056 - 6912 = 144 = 12^2$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{84 + 12}{2 \cdot 64} = \frac{96}{128} = \frac{3}{4}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{84 - 12}{2 \cdot 64} = \frac{72}{128} = \frac{9}{16}$

Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Вернемся к замене для каждого корня:

1. Если $y_1 = \frac{3}{4}$:

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{3}{4}$

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^1$

$x_1 = 1$

2. Если $y_2 = \frac{9}{16}$:

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{9}{16}$

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^2$

$x_2 = 2$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: 1; 2