Страница 6 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. Решите уравнение:

1) $6 \cdot 25^x - 5 \cdot 10^x - 4^x = 0;$

2) $64 \cdot 9^x - 84 \cdot 12^x + 27 \cdot 16^x = 0.$

1) $6 \cdot 25^x - 5 \cdot 10^x - 4^x = 0$

Это показательное уравнение. Преобразуем основания степеней:

$25 = 5^2$, $10 = 2 \cdot 5$, $4 = 2^2$.

Подставим эти значения в уравнение:

$6 \cdot (5^2)^x - 5 \cdot (2 \cdot 5)^x - (2^2)^x = 0$

$6 \cdot 5^{2x} - 5 \cdot 2^x \cdot 5^x - 2^{2x} = 0$

Это однородное показательное уравнение. Поскольку $4^x = 2^{2x} \neq 0$ при любом $x$, мы можем разделить все уравнение на $4^x$:

$\frac{6 \cdot 5^{2x}}{2^{2x}} - \frac{5 \cdot 2^x \cdot 5^x}{2^{2x}} - \frac{2^{2x}}{2^{2x}} = 0$

$6 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x - 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{5}{2}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного:

$6t^2 - 5t - 1 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

Корень $t_2 = -\frac{1}{6}$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к замене с $t_1 = 1$:

$\left(\frac{5}{2}\right)^x = 1$

Так как любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1, можем записать:

$\left(\frac{5}{2}\right)^x = \left(\frac{5}{2}\right)^0$

Отсюда следует, что $x=0$.

Ответ: 0

2) $64 \cdot 9^x - 84 \cdot 12^x + 27 \cdot 16^x = 0$

Это показательное уравнение. Преобразуем основания степеней:

$9 = 3^2$, $12 = 3 \cdot 4$, $16 = 4^2$.

Подставим эти значения в уравнение:

$64 \cdot (3^2)^x - 84 \cdot (3 \cdot 4)^x + 27 \cdot (4^2)^x = 0$

$64 \cdot 3^{2x} - 84 \cdot 3^x \cdot 4^x + 27 \cdot 4^{2x} = 0$

Это однородное показательное уравнение. Поскольку $16^x = 4^{2x} \neq 0$ при любом $x$, мы можем разделить все уравнение на $16^x$:

$\frac{64 \cdot 3^{2x}}{4^{2x}} - \frac{84 \cdot 3^x \cdot 4^x}{4^{2x}} + \frac{27 \cdot 4^{2x}}{4^{2x}} = 0$

$64 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} - 84 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 27 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \left(\frac{3}{4}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного:

$64y^2 - 84y + 27 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-84)^2 - 4 \cdot 64 \cdot 27 = 7056 - 6912 = 144 = 12^2$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{84 + 12}{2 \cdot 64} = \frac{96}{128} = \frac{3}{4}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{84 - 12}{2 \cdot 64} = \frac{72}{128} = \frac{9}{16}$

Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Вернемся к замене для каждого корня:

1. Если $y_1 = \frac{3}{4}$:

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{3}{4}$

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^1$

$x_1 = 1$

2. Если $y_2 = \frac{9}{16}$:

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{9}{16}$

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^2$

$x_2 = 2$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: 1; 2

14. Решите уравнение:

1) $2^x = 3 - x;$

2) $3^{x-3} + 4^{x-3} = 25;$

3) $2^{\cos x} = x^2 + 2.$

1) $2^x = 3 - x$

Рассмотрим две функции: $y_1 = 2^x$ и $y_2 = 3 - x$.

Функция $y_1 = 2^x$ является показательной с основанием больше 1, следовательно, она строго возрастает на всей области определения.

Функция $y_2 = 3 - x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом, следовательно, она строго убывает на всей области определения.

Если одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, то они могут пересечься не более одного раза. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня.

Подберем корень. Попробуем подставить $x=1$:

Левая часть: $2^1 = 2$.

Правая часть: $3 - 1 = 2$.

Так как $2 = 2$, то $x=1$ является корнем уравнения.

Поскольку корень может быть только один, то $x=1$ — единственное решение.

Ответ: 1.

2) $3^{x-3} + 4^{x-3} = 25$

Введем замену переменной. Пусть $y = x - 3$. Тогда уравнение примет вид:

$3^y + 4^y = 25$

Рассмотрим функцию $f(y) = 3^y + 4^y$. Эта функция является суммой двух возрастающих показательных функций, поэтому она также строго возрастает на всей своей области определения.

Следовательно, уравнение $f(y) = 25$ может иметь не более одного корня.

Подберем корень. Попробуем подставить $y=2$:

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Так как $25 = 25$, то $y=2$ является корнем уравнения.

Поскольку это единственный корень, вернемся к исходной переменной:

$x - 3 = 2$

$x = 5$

Ответ: 5.

3) $2^{\cos x} = x^2 + 2$

Оценим значения левой и правой частей уравнения.

Для левой части: $2^{\cos x}$. Мы знаем, что область значений функции косинуса — $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.

Так как функция $y = 2^t$ является возрастающей, то $2^{-1} \le 2^{\cos x} \le 2^1$.

Таким образом, $\frac{1}{2} \le 2^{\cos x} \le 2$. Наибольшее значение левой части равно 2.

Для правой части: $x^2 + 2$. Мы знаем, что $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Следовательно, $x^2 + 2 \ge 2$. Наименьшее значение правой части равно 2.

Равенство $2^{\cos x} = x^2 + 2$ возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 2. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} 2^{\cos x} = 2 \\ x^2 + 2 = 2 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы:

$x^2 + 2 = 2$

$x^2 = 0$

$x = 0$

Теперь подставим найденное значение $x=0$ в первое уравнение системы, чтобы проверить, выполняется ли оно:

$2^{\cos 0} = 2^1 = 2$.

Равенство $2 = 2$ верно. Следовательно, $x=0$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: 0.

15. При каких значениях $a$ уравнение $4^x - (a + 3) \cdot 2^x + 4a - 4 = 0$ имеет один действительный корень?

Данное уравнение $4^x - (a + 3) \cdot 2^x + 4a - 4 = 0$ можно переписать, заметив, что $4^x = (2^x)^2$:

$(2^x)^2 - (a + 3) \cdot 2^x + 4a - 4 = 0$

Введем замену переменной $t = 2^x$. Поскольку $x$ — действительное число, $t$ может быть любым положительным числом, то есть $t > 0$.

В результате замены получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - (a + 3)t + 4a - 4 = 0$

Исходное уравнение имеет один действительный корень тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет ровно один положительный корень.

Найдем корни этого квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = (-(a + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a - 4) = a^2 + 6a + 9 - 16a + 16 = a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2$.

Корни уравнения для $t$ можно найти по формуле:

$t = \frac{a + 3 \pm \sqrt{(a - 5)^2}}{2} = \frac{a + 3 \pm |a - 5|}{2}$

Рассмотрим два случая в зависимости от значения $a$.

Случай 1: $a \ge 5$

В этом случае $|a - 5| = a - 5$. Корни уравнения:

$t_1 = \frac{a + 3 + (a - 5)}{2} = \frac{2a - 2}{2} = a - 1$

$t_2 = \frac{a + 3 - (a - 5)}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Корень $t_2 = 4$ всегда положителен. Нам нужно, чтобы был только один положительный корень. Это возможно, если:

а) Корни совпадают, то есть $t_1 = t_2$.

$a - 1 = 4 \implies a = 5$. В этом случае мы имеем один корень $t = 4$, который положителен. Следовательно, $a=5$ является решением.

б) Второй корень $t_1$ неположителен, то есть $a-1 \le 0 \implies a \le 1$. Это условие противоречит предположению $a \ge 5$, поэтому в данном случае других решений нет.

Случай 2: $a < 5$

В этом случае $|a - 5| = -(a - 5) = 5 - a$. Корни уравнения:

$t_1 = \frac{a + 3 + (5 - a)}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$t_2 = \frac{a + 3 - (5 - a)}{2} = \frac{2a - 2}{2} = a - 1$

Один корень $t_1 = 4$ всегда положителен. Чтобы был ровно один положительный корень, второй корень $t_2$ должен быть неположительным ($t_2 \le 0$).

$a - 1 \le 0 \implies a \le 1$.

Это условие ($a \le 1$) не противоречит предположению $a < 5$. Следовательно, все значения $a$ из промежутка $(-\infty, 1]$ являются решениями.

Объединяя результаты из обоих случаев, получаем, что исходное уравнение имеет один действительный корень при $a \in (-\infty, 1] \cup \{5\}$.

Ответ: $a \in (-\infty, 1] \cup \{5\}$.

16. При каких значениях $a$ уравнение $25^x - (a - 4) \cdot 5^x - 2a^2 + 10a - 12 = 0$ не имеет действительных корней?

Данное уравнение является показательным. Преобразуем его, заметив, что $25^x = (5^x)^2$:$(5^x)^2 - (a-4) \cdot 5^x - (2a^2 - 10a + 12) = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ принимает только положительные значения при любом действительном $x$, то для новой переменной $t$ должно выполняться строгое неравенство $t > 0$.

После замены исходное уравнение сводится к квадратному уравнению относительно $t$:$t^2 - (a-4)t - (2a^2 - 10a + 12) = 0$

Исходное уравнение не будет иметь действительных корней $x$ тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение относительно $t$ не будет иметь положительных корней. Это возможно в следующих случаях:

1. Квадратное уравнение не имеет действительных корней.
2. Квадратное уравнение имеет действительные корни, но все они неположительны (т.е. $t \le 0$).

1. Рассмотрим случай отсутствия действительных корней у квадратного уравнения.
Это условие выполняется, если дискриминант $D$ уравнения отрицателен. Найдем дискриминант:$D = (-(a-4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2a^2 - 10a + 12))$$D = (a-4)^2 + 4(2a^2 - 10a + 12)$$D = a^2 - 8a + 16 + 8a^2 - 40a + 48$$D = 9a^2 - 48a + 64$Полученное выражение является полным квадратом:$D = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 8 + 8^2 = (3a-8)^2$

Условие $D < 0$ принимает вид $(3a-8)^2 < 0$. Это неравенство не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, квадратное уравнение для $t$ всегда имеет действительные корни при любом значении параметра $a$. Первый случай невозможен.

2. Рассмотрим случай, когда все действительные корни неположительны.
Поскольку $D = (3a-8)^2 \ge 0$ для всех $a$, уравнение всегда имеет действительные корни $t_1$ и $t_2$. Чтобы исходное уравнение не имело решений, эти корни должны быть неположительными: $t_1 \le 0$ и $t_2 \le 0$. Для квадратного уравнения вида $t^2+pt+q=0$ с действительными корнями, условия $t_1 \le 0$ и $t_2 \le 0$ эквивалентны системе неравенств (согласно теореме Виета):$\begin{cases} t_1 + t_2 \le 0 \\ t_1 \cdot t_2 \ge 0 \end{cases}$

Применим эти условия к нашему уравнению $t^2 - (a-4)t - (2a^2 - 10a + 12) = 0$:
Сумма корней: $t_1 + t_2 = a-4$.
Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = -(2a^2 - 10a + 12)$.
Составляем систему неравенств:$\begin{cases} a-4 \le 0 \\ -(2a^2 - 10a + 12) \ge 0 \end{cases}$

Решим эту систему.
Из первого неравенства получаем: $a \le 4$.
Второе неравенство равносильно неравенству $2a^2 - 10a + 12 \le 0$. Разделим его на 2:$a^2 - 5a + 6 \le 0$Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 5a + 6=0$. По теореме Виета, $a_1=2$, $a_2=3$. Разложим на множители: $(a-2)(a-3) \le 0$. Решением этого неравенства является отрезок $a \in [2, 3]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств системы:$\begin{cases} a \le 4 \\ a \in [2, 3] \end{cases}$Общим решением системы является отрезок $[2, 3]$.

Таким образом, при $a \in [2, 3]$ квадратное уравнение для $t$ имеет только неположительные корни, что означает, что исходное показательное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: $a \in [2, 3]$.

17. Установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и их множествами решений, записанными в правом столбце.

Неравенства

А) $3^x \ge 3$

Б) $(\frac{1}{3})^x \ge 3$

В) $(\frac{1}{3})^x < 3$

Г) $3^x < 3$

Множества решений

1) $[-1; +\infty)$

2) $(-\infty; -1]$

3) $[1; +\infty)$

4) $(-\infty; 1)$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А Б В Г

Для установления соответствия решим каждое неравенство.

А) $3^x \ge 3$

Представим число 3 в правой части как степень с основанием 3: $3 = 3^1$.

Неравенство примет вид: $3^x \ge 3^1$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Следовательно, при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$x \ge 1$

Это соответствует множеству решений $[1; +\infty)$, которое указано под номером 3.

Ответ: 3

Б) $(\frac{1}{3})^x \ge 3$

Представим обе части неравенства в виде степеней с основанием 3. Учитывая, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, получаем:

$(3^{-1})^x \ge 3^1$

$3^{-x} \ge 3^1$

Так как основание $3 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$-x \ge 1$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le -1$

Это соответствует множеству решений $(-\infty; -1]$, которое указано под номером 2.

Ответ: 2

В) $(\frac{1}{3})^x \le 3$

Снова представим обе части неравенства в виде степеней с основанием 3:

$(3^{-1})^x \le 3^1$

$3^{-x} \le 3^1$

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$-x \le 1$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x \ge -1$

Это соответствует множеству решений $[-1; +\infty)$, которое указано под номером 1.

Ответ: 1

Г) $3^x \le 3$

Представим правую часть как $3^1$:

$3^x \le 3^1$

Так как основание $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$x \le 1$

Это соответствует множеству решений $(-\infty; 1]$, которое указано под номером 4.

Ответ: 4

Теперь заполним таблицу, вписав под каждой буквой соответствующий номер множества решений.

18. Решите неравенство:

1) $4^x > \frac{1}{64}$;

2) $(\frac{1}{3})^x \le \frac{1}{81}$;

3) $(\frac{5}{6})^{x^2} \ge (\frac{6}{5})^{4x-5}$;

4) $0,6^{\frac{x^2-7x+12}{x}} \le 1$;

5) $8 \cdot 2^{x^2-8x} > 0,25^{2x}$;

6) $0,4^{\frac{x^2-4}{x}} \le \frac{125}{8}$;

7) $0,2^{x-2} \le 5 \cdot (\frac{1}{25})^{\frac{1}{x}}$;

8) $(\frac{\pi}{3})^{1+\frac{4}{x-2}} \le (\frac{\pi}{3})^{\frac{4}{x-4}}$.

1)

Приведем обе части неравенства $4^x > \frac{1}{64}$ к одному основанию 4.
Так как $64 = 4^3$, то $\frac{1}{64} = \frac{1}{4^3} = 4^{-3}$.
Получаем неравенство: $4^x > 4^{-3}$.
Поскольку основание степени $4 > 1$, функция $y=4^t$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x > -3$.

Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.

2)

Приведем обе части неравенства $(\frac{1}{3})^x \le \frac{1}{81}$ к одному основанию $\frac{1}{3}$.
Так как $81 = 3^4$, то $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = (\frac{1}{3})^4$.
Получаем неравенство: $(\frac{1}{3})^x \le (\frac{1}{3})^4$.
Поскольку основание степени $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $y=(\frac{1}{3})^t$ является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x \ge 4$.

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

3)

Приведем обе части неравенства $(\frac{5}{6})^{x^2} \ge (\frac{6}{5})^{4x-5}$ к одному основанию $\frac{5}{6}$.
Так как $\frac{6}{5} = (\frac{5}{6})^{-1}$, то неравенство можно переписать в виде:
$(\frac{5}{6})^{x^2} \ge ((\frac{5}{6})^{-1})^{4x-5}$
$(\frac{5}{6})^{x^2} \ge (\frac{5}{6})^{-(4x-5)}$
$(\frac{5}{6})^{x^2} \ge (\frac{5}{6})^{5-4x}$.
Поскольку основание $0 < \frac{5}{6} < 1$, функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 \le 5-4x$
$x^2 + 4x - 5 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = -5$.
Ветви параболы $y=x^2 + 4x - 5$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 4x - 5 \le 0$ выполняется между корнями (включая корни).
$-5 \le x \le 1$.

Ответ: $[-5; 1]$.

4)

Представим правую часть неравенства $0.6^{\frac{x^2-7x+12}{x}} \le 1$ в виде степени с основанием 0,6: $1 = 0.6^0$.
$0.6^{\frac{x^2-7x+12}{x}} \le 0.6^0$.
Поскольку основание $0 < 0.6 < 1$, функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{x^2-7x+12}{x} \ge 0$.
Найдем нули числителя: $x^2-7x+12 = 0$. Корни $x_1=3$, $x_2=4$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x-3)(x-4)}{x} \ge 0$.
Решим методом интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя (3, 4) и нуль знаменателя (0). Точка 0 выколотая.
Интервалы знакопостоянства: $(-\infty; 0)$, $(0; 3]$, $[3; 4]$, $[4; +\infty)$.
- При $x > 4$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
- При $3 \le x < 4$: $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$.
- При $0 < x \le 3$: $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$.
- При $x < 0$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.
Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $(0; 3] \cup [4; +\infty)$.

5)

Приведем все части неравенства $8 \cdot 2^{x^2-8x} > 0.25^{2x}$ к основанию 2.
$8=2^3$; $0.25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$.
$2^3 \cdot 2^{x^2-8x} > (2^{-2})^{2x}$
$2^{3+x^2-8x} > 2^{-4x}$.
Поскольку основание $2 > 1$, функция является возрастающей, знак неравенства сохраняется:
$x^2-8x+3 > -4x$
$x^2-4x+3 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2-4x+3 = 0$. Корни $x_1=1$, $x_2=3$.
Ветви параболы $y=x^2-4x+3$ направлены вверх, поэтому неравенство $>0$ выполняется вне интервала между корнями.
$x < 1$ или $x > 3$.

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

6)

Приведем обе части неравенства $0.4^{\frac{x^2-4}{x}} \le \frac{125}{8}$ к одному основанию. $0.4 = \frac{2}{5}$; $\frac{125}{8} = \frac{5^3}{2^3} = (\frac{5}{2})^3 = ((\frac{2}{5})^{-1})^3 = (\frac{2}{5})^{-3}$.
Неравенство принимает вид:
$(\frac{2}{5})^{\frac{x^2-4}{x}} \le (\frac{2}{5})^{-3}$.
Поскольку основание $0 < \frac{2}{5} < 1$, функция является убывающей, знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{x^2-4}{x} \ge -3$
$\frac{x^2-4}{x} + 3 \ge 0$
$\frac{x^2-4+3x}{x} \ge 0$
$\frac{x^2+3x-4}{x} \ge 0$.
Найдем нули числителя $x^2+3x-4=0$. Корни $x_1=1$, $x_2=-4$.
Неравенство: $\frac{(x+4)(x-1)}{x} \ge 0$.
Решаем методом интервалов. Критические точки: -4, 0, 1. Решение неравенства: $x \in [-4; 0) \cup [1; +\infty)$.

Ответ: $[-4; 0) \cup [1; +\infty)$.

7)

Приведем все части неравенства $0.2^{x-2} \le 5 \cdot (\frac{1}{25})^{\frac{1}{x}}$ к основанию 5.
$0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$; $\frac{1}{25} = 5^{-2}$.
$(5^{-1})^{x-2} \le 5^1 \cdot (5^{-2})^{\frac{1}{x}}$
$5^{-(x-2)} \le 5^1 \cdot 5^{-\frac{2}{x}}$
$5^{2-x} \le 5^{1-\frac{2}{x}}$.
Область допустимых значений: $x \ne 0$.
Поскольку основание $5 > 1$, функция является возрастающей, знак неравенства сохраняется:
$2-x \le 1-\frac{2}{x}$
$1-x+\frac{2}{x} \le 0$
$\frac{x-x^2+2}{x} \le 0$
$\frac{x^2-x-2}{x} \ge 0$.
Нули числителя $x^2-x-2=0$: $x_1=2$, $x_2=-1$.
Неравенство: $\frac{(x+1)(x-2)}{x} \ge 0$.
Решаем методом интервалов. Критические точки: -1, 0, 2. Решение неравенства: $x \in [-1; 0) \cup [2; +\infty)$.

Ответ: $[-1; 0) \cup [2; +\infty)$.

8)

В неравенстве $(\frac{\pi}{3})^{1+\frac{4}{x-2}} \le (\frac{\pi}{3})^{\frac{4}{x-4}}$ основание степени $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14}{3} > 1$.
Следовательно, функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей сохраняется:
$1+\frac{4}{x-2} \le \frac{4}{x-4}$.
Область допустимых значений: $x \ne 2$, $x \ne 4$.
$1+\frac{4}{x-2} - \frac{4}{x-4} \le 0$
$\frac{(x-2)(x-4) + 4(x-4) - 4(x-2)}{(x-2)(x-4)} \le 0$
$\frac{x^2 - 6x + 8 + 4x - 16 - 4x + 8}{(x-2)(x-4)} \le 0$
$\frac{x^2 - 6x}{(x-2)(x-4)} \le 0$
$\frac{x(x-6)}{(x-2)(x-4)} \le 0$.
Решаем методом интервалов. Критические точки: 0, 2, 4, 6.
Точки $x=0$ и $x=6$ являются решениями, точки $x=2$ и $x=4$ выколоты.
Интервалы, где выражение $\le 0$: $[0; 2)$ и $(4; 6]$.

Ответ: $[0; 2) \cup (4; 6]$.